`a_i = sum_(i=1)^3 T_(ij) a'_j`
`a_i = sum_(i=1)^3 T_(ij) a'_j`
`vec{e'_x} = a_(11) vec{e_x} + a_(21) vec{e_y} + a_(31) vec{e_z}`
`vec{e'_y} = a_(12) vec{e_x} + a_(22) vec{e_y} + a_(32) vec{e_z}`
`vec{e'_z} = a_(13) vec{e_x} + a_(23) vec{e_y} + a_(33) vec{e_z}`

Трансформиране координатите на вектор при смяна на координатната система

Страницата е създадена на: 6 септември 2019 и редактирана на:11 януари 2020

Всеки вектор `vec{a}` се представя чрез базиса на координатната система и координатите си по формулата:

`vec{a} = a_1 vec{e}_x + a_2 vec{e}_y + a_3 vec{e}_z`

Лесно се показва, че координатите на вектора `a_i` спрямо базисните вектори са равни на големината на вектора `a`, умножена по косинусите на ъглите между вектора и съответния базисен вектор: `a_i = a cos(alpha_i)`. Косинусите `cos(alpha_i)` понякога се наричат посочни косинуси.

Ако в пространството се зададе друга декартова координатна система със същото начало, то базисните вектори `vec{e'_x}`, `vec{e'_y}` и `vec{e'_z}` на тази система може да се представят със своите координати в първата декартова координатна система по формулите:

(88.1)
`vec{e'_x} = a_(11) vec{e_x} + a_(21) vec{e_y} + a_(31) vec{e_z}`
`vec{e'_y} = a_(12) vec{e_x} + a_(22) vec{e_y} + a_(32) vec{e_z}`
`vec{e'_z} = a_(13) vec{e_x} + a_(23) vec{e_y} + a_(33) vec{e_z}`

Координатите на базисните вектори на новата координатна система спрямо старата координатна система, записани в стълбове, образуват квадратна матрица:

(88.2)
`T =` `((a_(11), a_(12), a_(13)), (a_(21), a_(22), a_(21)), (a_(31), a_(32), a_(33)))`

която наричаме матрица на прехода от първата към втората координатна система.

Да означим координатите на един и същи вектор, спрямо две декартови координатни системи с общо начало:

`vec{a} = a_1 vec{e}_x + a_2 vec{e}_y + a_3 vec{e}_z`

`vec{a} = a'_1 vec{e'_x} + a'_2 vec{e'_y} + a'_3 vec{e'_z}`

Да заместим базисните вектори на втората координатна система по формула (88.1)

`a_1 vec{e}_x + a_2 vec{e}_y + a_3 vec{e}_z =`
`a'_1 (a_(11) vec{e_x} + a_(21) vec{e_y} + a_(31) vec{e_z}) + ` `a'_2 (a_(12) vec{e_x} + a_(22) vec{e_y} + a_(32) vec{e_z}) + ` `a'_3 (a_(13) vec{e_x} + a_(23) vec{e_y} + a_(33) vec{e_z})`

Сега да приравним координатите пред базисните вектори на първата координатна система. Получаваме система от линейни уравнения:

`a_(11) a'_1 + a_(12) a'_2 + a_(13) a'_3 = a_1`
`a_(21) a'_1 + a_(22) a'_2 + a_(23) a'_3 = a_2`
`a_(31) a'_1 + a_(32) a'_2 + a_(33) a'_3 = a_3`

Тази система позволява да определим координатите на вектора спрямо втората координатна система. Същата система може да се запише в матрична форма:

`((a_(11), a_(12), a_(13)), (a_(21), a_(22), a_(23)), (a_(31), a_(32), a_(33)))` `((a'_1), (a'_2), (a'_3)) =` `((a_1), (a_2), (a_3))`

или в координатна форма:

(88.3)
`a_i = sum_(i=1)^3 T_(ij) a'_j`

Последната формула се записва и без знак за сумиране, във вида:

(88.4)
`a_i = T_(ij) a'_j`

като в този случай, поради това че индексът `j` се повтаря във всеки от множителите, се подразбира, че на този индекс следва да се задава всяка от възможните му стойности и произведенията, съответстващи на тези стойности да се сумират.

Както виждаме, за трансформиране на координатите на един вектор от една координатна система, към друга координатна система, трябва да знаем елементите `T_(ij)` на матрицата на прехода и да приложим формула (88.3).

Формулата за трансформиране на координатите на векторите при смяна на координатната система е най-същественото свойство на векторите. То позволява понятието вектор, което въведохме чрез геометрично понятие насочена отсечка да се обобщи по този начин:

Вектор наричаме всяка величина `vec a`, която в тримерно пространство има три компоненти `a_i` `i=1,2,3`, които при смяна на координатната система се преобразуват по формула (88.3).

Друго обобщение на понятието вектор се прави в Линейна алгебра, където векторите се разглеждат като елементи на Линейни пространства.

 

Направено с MyCMS. Copyright CC BY-ND 4.0.