`m ddot x + r dot x + k x = f(t)`
`m ddot x + r dot x + k x = 0`
`m ddot x + k x = 0`

Обикновени, линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти

Страницата е създадена на: 5 ноември 2016 и редактирана на:13 декември 2016

Уравненията, които получихме в предишния въпрос, в математиката спадат към вида на линейните, обикновени диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти. В тези уравнения участва неизвестна функция x  на времето t , както и производните на тази функция до втори ред включително ( x .  и x .. ).

Чрез въвеждане на нови означения, да приведем споменатите уравнения (100.1), (100.2) и (100.3) в по-удобен за анализиране и решаване вид. Първо да ги разделим на масата m . Получаваме:

x .. + k m x = 0 ,

x .. + r m x . + k m x = 0  и

x .. + r m x . + k m x = F 0 m cos   ω t .

сега да въведем означенията:

r m = 2 β ,   k m = ω 0 2    и   F 0 m = f 0 .

При тези означения уравненията добиват вида:

(102.1)
`ddot x + ω_0^2 x = 0`

(102.2)
`ddot x + 2 β dot x + ω_0^2 x = 0`

(102.3)
`ddot x + 2 β dot x + ω_0^2 x = f_0 cos (ω t)`

Уравнения (102.1) и (102.2), дясната страна на които е 0, се наричат хомогенни уравнения, а уравнение (102.3), дясната страна на което е различна от нула функция, се нарича нехомогенно уравнение. Всяка конкретна функция, която удовлетворява дадено уравнение се нарича частно решение на това уравнение, а множеството от всички частни решения се нарича общо решение.

В математиката се доказва, че общото решение на едно хомогенно, линейно, обикновено диференциално уравнение от втори ред е сума от произведението на две произволни константи C 1  и C 2 с две линейно независими1 функции x 1 ( t )  и x 2 ( t ) , представляващи частни решения на уравнението, т.е. има вида:

x = C 1 x 1 ( t ) + C 2 x 2 ( t ) ,

а общото решение на нехомогенно линейно, обикновено, диференциално уравнение е сума от общото решение на съответното му хомогенно уравнение и кое да е негово частно решение. Следователно, намирането на общото решение се свежда до намиране на няколко частни решения.

Частните решения на хомогенно, линейно, обикновено диференциално уравнение от втори ред търсим във вида:

(102.4)
`x = e^(λ t)`

където, λ  е коефициент, който трябва да се определи така, че тази функция да удовлетворява диференциалното уравнение. Първата и втората производна на тази функция са:

x . = λ e λ t     и     x .. = λ 2 e λ t .

Като заместим с тези производни и съкратим експоненциалния множител e λ t  от уравнение (102.1) и (102.2) получаваме:

λ 2 + ω 2 = 0  и

λ 2 + 2 β λ + ω 2 = 0 .

Това са квадратни уравнения относно неизвестния коефициент λ , които трябва да решим за да намерим стойностите на λ , за които функцията (102.4) е частно решение на хомогенните уравнения. Тези квадратни уравнения се наричат характеристични уравнения на съответните обикновени диференциални уравнения.

В следващите въпроси ще представим резултатите от решаването на всяко от горните уравнения.


1 Две функции x 1 ( t )  и x 2 ( t ) са линейно независими ако не съществува различна от нула константа C , за която: x 1 ( t ) = C x 2 ( t ) .

 

Направено с MyCMS. Copyright CC BY-ND 4.0.