y = A   sin   ( ϕ 0 + ω t ) .

Апериодично движение и затихващи собствени трептения

Страницата е създадена на: 5 ноември 2016 и редактирана на:30 януари 2017

Нека сега да разгледаме движение на материална точка, върху която действа консервативна, квазиеластична сила `F = -k x` и сила на триене `F_т = -r dot x`. Силата на триене е насочена винаги обратно на посоката на движение и затова нейната работа е отрицателна, което означава, че под нейно действие пълната механична енергия на материалната точта намалява с времето. Когато силата на триене е голяма, може да стане така, че дори само за времето на едно връщане на материалната точка към точката на равновесие, загубата на енергия да бъде толкова голяма, че следващи отклонения от началното положение да станат невъзможни. Тогава движението изобщо няма характер на трептене и се нарича апериодично движение. При по-малка сила на триене намаляването на енергията е по-бавно и се осъществяват трептения, но с все по-намаляваща амплитуда. Такива трептения се наричат затихващи трептения.

Уравнението на движение на материалната точка под действие на квазиеластична сила и сила на триене има вида:

`m ddot x + r dot x + k x = 0`

и след деление на `m` и въвеждане на нови означения: `r/m = 2 β` и `k/m = ω_0^2` добива вида:

`ddot x + 2 β dot x + ω_0^2 x = 0`

Търсим решение на това уравнение във вида `x(t) = e^(λ t)`. След пресмятане на производните на тази функция и заместване в уравнението, получаваме квадратно характеристично уравнение за намиране на параметъра `λ`:

(103.1)
`λ^2 + 2 β λ + ω_0^2 = 0`

Дискриминантата на това квадратно уравнение е:

`(2 β)^2 - 4 ω_0^2 = 4 (β^2 - ω_0^2)`

В зависимост от това дали тази дискриминанта има положителна стойност, стойност нула или отрицателна стойност решенията на характеристичното уравнение са съответно две реални решения, едно реално решение или две комплексни решения. Да разгледаме всеки от тези случаи и да видим какъв е физическия смисъл на получените решения.

1. Да разгледаме случая когато дискриминантата на характеристичното уравнение е положителна. Тава е така ако `β > ω_0` и тогава двата корена на това уравнение са:

`λ_1 = (-2 β - root() ( 4 (β^2 - ω_0^2)) ) / 2 = - β - root() (β^2 - ω_0^2)`

`λ_2 = - β + root() (β^2 - ω_0^2)`

Поради неравенството `β > ω_0` и двата корена имат отрицателни стойности. На тези два корена съответстват частни решения на диференциалното уравнение на движение, от които съставяме общо решение:

(103.2)
`x(t) = C_1 e^(λ_1 t) + C_2 e^(λ_2 t)`

Поради отрицателните стойности на `λ_1` и `λ_2` двете експоненциални функции в това общо решение клонят към 0, когато `t->oo`. Следователно движението на материалната точка представлява едно непрестанно доближаване, връщане към точката на равновесие. Такова движение се нарича апериодично движение. Стойностите на константите `C_1` и `C_2`, и уравнението на конкретно движение може да намерим ако знаем началното положение `x_0` и началната скорост `v_0` на материалната точка. Замествайки в общото решение и неговата производна с `t=0` получаваме система линейни уравнения за намиране на `C_1` и `C_2`:

`C_1 + C_2 = x_0`
`λ_1 C_1 + λ_2 C_2 = v_0`

Решението на тази система е:

`C_1 = (λ_2 x_0 - v_0)/(λ_2 - λ_1)`       `C_2 = (v_0 - λ_1 x_0)/(λ_2 - λ_1)`

Фигурата показва графика на закона за движението при различни стойности на началната скорост. , направен с OpenOffice Calc, съдържа макро на Basic с необходимата формула и изчислените за построяване на графиката данни.

2. Да разгледаме случаят, когато `β < ω_0`, дискриминантата на характеристичното уравнение е отрицателна и в следствие на това корените на уравнението са комплексни числа:

`λ_1 = - β + i root()( ω_0^2 - β^2 )`
`λ_2 = - β - i root()( ω_0^2 - β^2 )`

Въвеждаме означението `ω = root() ( ω_0^2 - β^2 )` и представяме общото решение (103.2) във вида:

`x(t) = e^(-β t) (C_1 e^(i ω t) + C_2 e^( - i ω t) )`

При стойности на константите `C_1` и `C_2`, определени както при решаване на уравнението на незатихващите собствени трептения, изразът в скобите се свежда до реална косинусова или синусова функция:

`x(t) = a e^(-β t) cos (ω t + α)`
`x(t) = a e^(-β t) sin (ω t + α_1)`

Тези закони за движението се различават от закона за движението при хармонично трептене (98.1) по зависимостта на амплитудата на трептене от времето:

`A(t) = a e^(-β t)`

Амплитудата на трептене намалява с времето и затова казваме, че тези трептения са затихващи. , направен с OpenOffice Calc, съдържа изчислените за построяване на графиката данни.

 

Направено с MyCMS. Copyright CC BY-ND 4.0.