Деформация на малка частица

Страницата е създадена на:31 януари 2017 и редактирана на: 9 май 2018

Нека с `vec{u}(vec{r},t)` да означим преместването `d vec{r}`, което извършва точка от непрекъснатата среда с радиус вектор `vec{r}` от момент време `t` до един следващ близък момент `t + d t`. Нека `O` е точка от малка частица, с радиус вектор `vec{r_O}`. Спрямо точка `O` ще отчитаме положението на другите точки от тази частица, с цел да установим промените във формата на частицата. Преместването на точка `O` e `vec{u}(vec{r_O},t)`. Нека `A` е произволна точка от частицата, с радиус вектор `vec{r'}` спрямо точка `O`. Очевидно:

(112.1)
`vec{r'} = vec{r} - vec{r_O}`

Изменението на формата (деформацията) на частицата, настъпило през времето от момент `t` до `t+dt`, може напълно да се опише с изменението `d vec{r'}` на вектора `vec{r'}`, за всяка точка от нея.

`d vec{r'} =` ` d vec{r} - d vec{r_O} = ` `vec{u}(vec{r},t) - vec{u}(vec{r_O},t)`

Тъй като частицата е малка, радиус векторите `vec{r'}` на всички нейни точки спрямо точка `O` са малки и след разлагане в ред на функцията `vec{u}(vec{r},t)` около точка `vec{r_O}`, за координатите на деформацията `d vec{r'}` получаваме:

`d x'_i = (partial u_i)/(partial x_j) x'_j`

В това уравнение, както и навсякъде по-нататък е пропуснат символа за сумиране, като той се подразбира поради наличието на повтарящ се индекс `j`. (Правило на Айнщайн)

Частните производни `(partial u_i)/(partial x_j)` представляват компоненти на тензор, който може да се представи като сума от един симетричен и един антисиметричен тензор, съответно:

(112.2)
`ε_(ij) = (1)/(2)((partial u_j)/(partial x_i) + (partial u_i)/(partial x_j))`

(112.3)
`χ_(ij) = (1)/(2)((partial u_j)/(partial x_i) - (partial u_i)/(partial x_j))`

При тези означения координатите на деформацията се изразяват със сумата:

(112.4)
`d x'_i = ε_(ji) x'_j + χ_(ji) x'_j`

Антисиметричният тензор с компоненти `χ_(ij)` има три линейно независими компоненти, които съвпадат с трите компоненти на вектора `vec{d χ} = (1)/(2)rot(vec{u})`:

`d χ_1 = χ_(23)`     `d χ_2 = χ_(31)`     `d χ_3 = χ_(12)`

Ако разпишем сумите `χ_(ji) x_j` за трите стойности на индекса `i`, ще видим, че тези суми съвпадат с трите компоненти на векторното произведение `vec{d χ} times vec{r'}`, например:

`χ_(j1) x'_j = ` `χ_(21) x'_2 + χ_(31) x'_3 = ` `d χ_2 x'_3 - d χ_3 x'_2 = ` `(vec{d χ} times vec{r'})_1`

Векторът `vec{d χ}` представлява вектор на въртене на точката с радиус вектор `vec{r'}` около точката `O`.

Тъй като тензорът с компоненти `ε_(ij)` е симетричен, то може да се намери подходящо ориентирана координатна система, в която този тензор има само три различни от нула, главни компоненти. Нека в такава координатна система да изразим изменението на обема на малка частица с форма на паралелепипед, която не извършва въртене. Ако точка `O` е един връх на този паралелепипед, а точка `A` е срещуположният връх с координати `x'_1, x'_2 и x'_3`, обемът на паралелепипеда е:

`ΔV = x'_1 x'_2 x'_3`

Измененият в следствие на деформацията обем е:

`ΔV + d ΔV = ` `(x'_1 + d x'_1)(x'_2 + d x'_2)(x'_3 + d x'_3`)

След разкриване на скобите, пренебрегване на събираемите от по-голяма от първа степен и използване на (112.4), получаваме:

`ΔV + d ΔV = ` `x'_1 x'_2 x'_3 + x'_1 x'_2 x'_3 (ε_(11) + ε_(22) + ε_(33)) = ` `ΔV + ΔV (ε_(11) + ε_(22) + ε_(33))`

Или, получаваме, че относителното изменение на обема на малката частица е равно на следата на тензора `ε`:

`(d ΔV) / (ΔV) = ` `ε_(11) + ε_(22) + ε_(33)`

Следата на симетричен тензор е инвариант, следователно получената формула е в сила във всяка координатна система и тя разкрива физичният смисъл на тензора `ε` като го свързва с изменението на обема на малката частица.

Предвид формула (112.2), следата на тензора `ε` съвпада с дивергенцията на векторното поле `vec{u}` на преместванията в непрекъснатата среда.

`ε_(11) + ε_(22) + ε_(33) = ` `(partial u_1)/(partial x_1) + (partial u_2)/(partial x_2) + (partial u_3)/(partial x_3) = ` div` vec{u}`

Така получаваме следната връзка на относителното изменение на обема на малка частита с полето на преместванията:

(112.5)
`(d ΔV) / (ΔV) = `div` vec{u}`

Разделяйки двете страни на последното равенство на интервала време `dt`, получаваме връзка с полето на скоростта на движение на непрекъснатата среда:

(112.6)
`1/(ΔV) (d ΔV) / (dt) = `div` vec{v}`

Ако мвесто полето на преместванията `vec u` използваме полето на скоростите `vec v`, може да дефинираме тензори аналогични на (112.2) и (112.3):

(112.7)
`v_(ij) = 1/2 ( (partial v_j)/(partial x_i) + (partial v_i)/(partial x_j) )`

(112.8)
`ω_(ij) = 1/2 ( (partial v_j)/(partial x_i) - (partial v_i)/(partial x_j) )`

Трите линейно независими компоненти на антисиметричния тензор `ω_(ij)` определят ъгловата скорост на въртене на малката частица:

`vec{ω} = ` `vec{d χ}/(dt) =` `1/2 rot vec{v}`

 

Направено с MyCMS. Copyright CC BY-ND 4.0.