Деформация на малка частица

Страницата е създадена на:31 януари 2017 и редактирана на:24 септември 2019

Нека с `vec{u}(vec{r},t)` да означим преместването, което извършва точка от непрекъснатата среда с радиус-вектор `vec{r}` от момент време `t` до един следващ близък момент `t + d t`. Нека `O` е точка от малка частица, с радиус-вектор `vec{r_O}`. Спрямо точка `O` ще отчитаме положението на другите точки от тази частица, с цел да установим промените във формата на частицата. Преместването на точка `O` e `vec{u}(vec{r_O},t)`. Нека `A` е произволна точка от частицата, с радиус-вектор `vec{r'}` спрямо точка `O`. Очевидно:

(112.1)
`vec{r'} = vec{r} - vec{r_O}`

Изменението на формата (деформацията) на частицата, настъпило през времето от момент `t` до `t+dt`, може напълно да се опише с изменението `d vec{r'}` на вектора `vec{r'}`, за всяка точка от нея.

`d vec{r'} =` ` d vec{r} - d vec{r_O} = ` `vec{u}(vec{r},t) - vec{u}(vec{r_O},t)`

Тъй като частицата е малка, радиус-векторите `vec{r'}` на всички нейни точки спрямо точка `O` са малки и след разлагане в ред на функцията `vec{u}(vec{r},t)` около точка `vec{r_O}`, при пренебрегване на членовете на реда от по-висок от първи порядък, за координатите на деформацията `d vec{r'}` получаваме:

`d x'_i = (partial u_i)/(partial x_j) x'_j`

В това уравнение, както и навсякъде по-нататък е пропуснат символа за сумиране, като той се подразбира поради наличието на повтарящ се индекс `j`. (Правило на Айнщайн)

Частните производни `(partial u_i)/(partial x_j)` представляват компоненти на тензор, който може да се представи като сума от един симетричен и един антисиметричен тензор, съответно:

(112.2)
`ε_(ij) = (1)/(2)((partial u_j)/(partial x_i) + (partial u_i)/(partial x_j))`

(112.3)
`χ_(ij) = (1)/(2)((partial u_j)/(partial x_i) - (partial u_i)/(partial x_j))`

При тези означения координатите на деформацията се изразяват със сумата:

(112.4)
`d x'_i = ε_(ji) x'_j + χ_(ji) x'_j`

Антисиметричният тензор с компоненти `χ_(ij)` има три линейно независими компоненти, които съвпадат с трите компоненти на вектора `vec{d χ} = (1)/(2)rot(vec{u})`:

`d χ_1 = χ_(23)`     `d χ_2 = χ_(31)`     `d χ_3 = χ_(12)`

Ако разпишем сумите `χ_(ji) x_j` за трите стойности на индекса `i`, ще видим, че тези суми съвпадат с трите компоненти на векторното произведение `vec{d χ} times vec{r'}`, например, за `i=1`:

`χ_(j1) x'_j = ` `χ_(21) x'_2 + χ_(31) x'_3 = ` `d χ_2 x'_3 - d χ_3 x'_2 = ` `(vec{d χ} times vec{r'})_1`

Векторът `vec{d χ}` представлява вектор на въртене на точката с радиус-вектор `vec{r'}` около точката `O`. Така установяваме, че тензорът `chi_(ij)` описва въртенето на малката частица като цяло около ос минаваща през приетата за начална нейна точка `O`. Този тензор ще наричаме тензор на въртене на непрекъснатата среда.

Тъй като тензорът с компоненти `ε_(ij)` е симетричен, то може да се намери подходящо ориентирана координатна система, в която този тензор има само три различни от нула, главни компоненти. В такава координатна система всяка от главните компоненти на този тензор изразява относителната деформация на малката частица по посока на съответната координатна ос, поради което тензорът се нарича тензор на деформацията. Например, поради (112.4), когато малката частица не извършва въртене и `chi_(ij) = 0`, имаме: `epsilon_(11) = (d x'_1)/(x')`. В произволна координатна система диагоналните елементи на тензора на деформацията също представляват относителното изменение на разстоянието между безкрайно близки точки в посока на съответната ос, а недиагоналните елементи, характеризират намалението на ъгъла между съответната двойка оси - деформацията на хлъзгане. Формулите (112.4) с които се изразява относителната линейна деформация и относителната деформация на хлъзгане чрез диференциране на полето на преместванията понякога се наричат уравнения на Коши за деформациите (в геометричната теория на деформациите).

В техническата и строителна механика при означаване на координатите с `x`, `y` и `z`, компонентите на вектора на деформацията се означават с `u`, `v` и `w`, а независимите компонентите на тензора на деформацията се означават и изразяват с формулите:

`epsilon_x = (del u)/(del x)` ;  `epsilon_y = (del v)/(del y)` ;  `epsilon_z = (del w)/(del z)`

`gamma_(xy) = (del u)/(del y) + (del v)/(del x)` ;  `gamma_(yz) = (del v)/(del z) + (del w)/(del y)` ;  `gamma_(xz) = (del u)/(del z) + (del w)/(del x)`

При предположение, че деформациите са достатъчно гладки функции на координатите, чиито частни производни до втори ред са непрекъснати функции, то от равенството на смесените производни, което имаме при това предположение, например: `(del^2 epsilon_x)/(del x del y) =` `(del^2 epsilon_x)/(del y del x)` следват някои тъждества. За да получим такова, да изразим от горните формули производните:

`(del^2 epsilon_x)/(del y^2) = (del^3 u)/(del x del y^2)`

`(del^2 epsilon_y)/(del x^2) = (del^3 v)/(del x^2 del y)`

`(del^2 gamma_(xy))/(del x del y) = (del^3 u)/(del x del y^2) + (del^3 v)/(del x^2 del y)`

Сравняването на десните стрени показва, че е в сила едно тъждеството, от което след циклична смяна на координатите се получават още две:

(112.5)
`(del^2 epsilon_x)/(del y^2) +` `(del^2 epsilon_y)/(del x^2) =` `(del^2 gamma_(xy))/(del x del y)`
`(del^2 epsilon_y)/(del z^2) +` `(del^2 epsilon_z)/(del y^2) =` `(del^2 gamma_(yz))/(del y del z)`
`(del^2 epsilon_z)/(del x^2) +` `(del^2 epsilon_x)/(del z^2) =` `(del^2 gamma_(zx))/(del z del x)`

Друга група тъждества получаваме, ако съставим сумата от производни:

`(del gamma_(xy))/(del z) +` `(del gamma_(xz))/(del y) =` `2(del^2 u)/(del z del y) +` `(del^2 v)/(del z del x) +` `(del^2 w)/(del y del x)`

Забелязвайки, че сумата на последните две производни е: `(del gamma_(yz))/(del x)`, след заместване получаваме:

`(del gamma_(xy))/(del z) -` `(del gamma_(yz))/(del x) +` `(del gamma_(xz))/(del y) =` `2(del^2 u)/(del z del y)`

След диференциране по `x` и предвид, че `(del u)/(del x) = epsilon_x`, получаваме едно тъждеството и след циклична замяна на производните - още две:

(112.6)
`del/(del x)( (del gamma_(xy))/(del z) -` `(del gamma_(yz))/(del x) +` `(del gamma_(xz))/(del y) ) =` `2(del^2 epsilon_x)/(del z del y)`
`del/(del y)( (del gamma_(yz))/(del x) -` `(del gamma_(zx))/(del y) +` `(del gamma_(yx))/(del z) ) =` `2(del^2 epsilon_y)/(del x del z)`
`del/(del z)( (del gamma_(zx))/(del y) -` `(del gamma_(xy))/(del z) +` `(del gamma_(zx))/(del x) ) =` `2(del^2 epsilon_z)/(del y del x)`

Групата от шест тъждества, за тензора на деформацията, които получихме като следствие от непрекъснатостта на производните по пространствените координати (112.5) и (112.6), се наричат условия за съвместимост на деформациите или тъждества на Сен-Венан.

Нека да изразим изменението на обема на малка частица с форма на паралелепипед. Ако точка `O` е един връх на този паралелепипед, а точка `A` е срещуположният връх с координати `x'_1, x'_2 и x'_3`, обемът на паралелепипеда е:

`ΔV = x'_1 x'_2 x'_3`

Измененият в следствие на деформацията обем е:

`ΔV + d ΔV = ` `(x'_1 + d x'_1)(x'_2 + d x'_2)(x'_3 + d x'_3`)

След разкриване на скобите, пренебрегване на събираемите от по-голяма от първа степен и използване на (112.4), получаваме:

`ΔV + d ΔV = ` `x'_1 x'_2 x'_3 + x'_1 x'_2 x'_3 (ε_(11) + ε_(22) + ε_(33)) = ` `ΔV + ΔV (ε_(11) + ε_(22) + ε_(33))`

Или, получаваме, че относителното изменение на обема на малката частица е равно на следата на тензора `ε`:

(112.7)
`(d ΔV) / (ΔV) = ` `ε_(11) + ε_(22) + ε_(33) =` `epsilon_(ii)`

Следата на симетричен тензор е инвариант, следователно получената формула е в сила във всяка координатна система и тя разкрива физичният смисъл на тензора `ε` като го свързва с изменението на обема на малката частица.

Предвид формула (112.2), следата на тензора `ε` съвпада с дивергенцията на векторното поле `vec{u}` на преместванията в непрекъснатата среда.

`ε_(11) + ε_(22) + ε_(33) = ` `(partial u_1)/(partial x_1) + (partial u_2)/(partial x_2) + (partial u_3)/(partial x_3) = ` div` vec{u}`

Така получаваме следната връзка на относителното изменение на обема на малка частита с полето на преместванията:

(112.8)
`(d ΔV) / (ΔV) = `div` vec{u}`

Разделяйки двете страни на последното равенство на интервала време `dt`, получаваме връзка с полето на скоростта на движение на непрекъснатата среда:

(112.9)
`1/(ΔV) (d ΔV) / (dt) = `div` vec{v}`

Ако вместо полето на преместванията `vec u` използваме полето на скоростите `vec v`, може да дефинираме тензори аналогични на (112.2) и (112.3):

(112.10)
`v_(ij) = 1/2 ( (partial v_j)/(partial x_i) + (partial v_i)/(partial x_j) )`

(112.11)
`ω_(ij) = 1/2 ( (partial v_j)/(partial x_i) - (partial v_i)/(partial x_j) )`

които се наричат съответно тензор на скоростта на деформацията и тензор на ъгловата скорост на въртене. Трите линейно независими компоненти на антисиметричния тензор `ω_(ij)` определят ъгловата скорост на въртене на малката частица:

`vec{ω} = ` `vec{d χ}/(dt) =` `1/2 rot vec{v}`

 

Направено с MyCMS. Copyright CC BY-ND 4.0.