Сили и напрежение

Страницата е създадена на:10 февруари 2018 и редактирана на:16 септември 2019

За съставяне на уравнението на движение на малка частица от непрекъсната среда, следва да отчетем сумата от силите, които действат върху малката частица. Тези сили може да разделим на две категории, обемни сили, които са пропорционални, в общия случай, на обема или масата на частицата и повърхностни сили, с които действат върху частицата, съседните на нея останали части от непрекъснатата среда.

Обемните сили може да разглеждаме като дадено, външно силово поле, характеризиращо се със силата `vec{f}(vec{r})`, действаща на единица маса от от непрекъснатата среда, в точка от пространството с радиус-вектор `vec{r}`. Ако имаме малка частица с маса `Δ m`, то обемната сила действаща на тази частица е `vec{f} Δ m = vec{f} ρ Δ V`.

За да изразим сумата от повърхностните сили, действащи на малка частица, то разделяме цялата повърхност на частицата на малки части с лицеви вектори `d vec{s}`. (Лицевият вектор е вектор с посока по нормалата към повърхнината и големина равна на лицето на разглежданата малка част от повърхнината.) Разглеждаме силата, която действа на всяка такава малка част от повърхността на частицата `d vec{F^s}` и за да определим резултантната сила `vec{F^s}` интегрираме по цялата повърхност на малката частица.

F s = Δ σ d   F s

В общият случай посоката на силата, `d vec{F^s}`, действаща върху елементарната повърхност с лицев вектор `d vec{s}`, има направление различно от нормалата към повърхността на частицата, т.е. векторите `d vec{F^s}` и `d vec{s}` са неколинеарни. Същевременно всяка координата на силата е пропорционална, в общия случай, с различни коефициенти на пропорционалност на всяка от координатите на лицевия вектор. Такава връзка между действащата сила и лицевия вектор по координати може да се изрази с формулата:

`d F_i^s = P_(ij) d s_j`

(В тази формула е пропуснат знакът за сумиране, който се подразбира поради повтарянето на индек `j`).

Коефициентите `P_(ij)` представляват компоненти на тензорна величина, която се нарича тензор на напрежението. Физическият смисъл на тензора на напрежението е, че всяка от неговите компоненти представлява отнесената към единица повърхност сила, която действа в едно от три направления спрямо разглеждана повърхност - една нормална и две тангенциални. Нормалните компоненти описват положително или отрицателно налягане, а тангенциалните - вътрешно триене, когато непрекъснатата среда е течност, или срязващо напрежение - когато е твърдо тяло. Размерността на напрежението е сила върху лице (Например: нютон на квадратен метър `N.m^-2`)

В случай на еднопосочно разтягане на непрекъснатата среда по посока на оста `x` компонентите на тензора на напрежението се представят с матрицата:

`((p,0,0),(0,0,0),(0,0,0))`

В случай на равномерно двумерно разтягане в равнината на осите `x` и `y`:

`((p,0,0),(0,p,0),(0,0,0))`

При равномерно обемно разтягане водещо до равномерно увеличаване на обема:

`((p,0,0),(0,p,0),(0,0,p))`

Чрез теоремата на Гаус-Остроградски интегралът по повърхността на малката частица преобразуваме в обемен интеграл:

Δ σ ` d F_i^s = ` Δ σ ` P_(ij) d s_j = ` Δ V `(partial P_(ij) )/(partial x_j) d V`

От казаното, може да обобщим, че всяка от координатите на вектора на резултантната сила, действаща на малка частица от непрекъсната среда, се намира чрез интегриране по обема на частицата, на сумата от две части - в които участват съответно тензорът на напрежението и обемните сили.

(152.1)
`F_i^s = ` Δ V `( (partial P_(ij) )/(partial x_j) + ρ f_i ) d V`

 

Направено с MyCMS. Copyright CC BY-ND 4.0.