Уравнение за изминение на момента на импулса

Страницата е създадена на:11 февруари 2018 и редактирана на:12 август 2019

Обикновено диференциално уравнение, отразяващо изменението на момента на импулса на една материална точка, може да се получи от основното уравнение на механиката. Нека да преобразуваме производната на момента на импулса, изхождайки от неговото определение:

`(d vec{L})/(d t) = ` `(d (vec{r} times vec{p}))/(d t) = ` `(d vec{r})/(d t) times vec{p} + vec{r} times (d vec{p})/(d t)`

Първото от произведанията в последния израз е нула, защото `(d vec{r})/(d t) = vec{v}` е скоростта на материалната точка, която има еднаква посока с вектора на импулса `vec{p} = m vec{v}`, а векторното произведение на еднопосочни вектори е нула.

Така получаваме, че производната на момента на импулса по времето е векторно произведение на радиус-вектора на материалната точка и производната по времето на нейния импулс:

(155.1)
`(d vec{L})/(dt) = ` `vec{r} times (d vec{p})/(dt) = ` `vec{r} times m dot vec{v}`

Във второто произведение, скоростта на изменение на импулса `(d vec{p})/(d t)` е равна на векторната сума `vec{F}` от силите, действащи на материалната точка и така стигаме да следното уравнение за изменение на момента на импулса:

(155.2)
`(d vec{L})/(d t) = vec{r} times vec{F}`

Векторното произведение ` vec{r} times vec{F}`, което стои в дясната страна на това уравнение се нарича момент на силата `vec{F}`. Следователно: Скоростта на изменение на момента на импулса е равна на момента на сумата от силите, които действат на материалната точка.

За система от материални точки, последното уравнение може да се запише за всяка точка от системата:

`(d vec{L_i})/(dt) = vec{r_i} times vec{F_i}`

След сумиране се получава уравнението за изменение на момента на импулса на системата:

`(d vec{L})/(dt) = ` `d/(dt) sum_(i=1)^n vec{L_i} = ` `sum_(i=1)^n vec{r_i} times vec{F_i}`

Да представим силата, която действа на материална точка `i` като сума от ватрешните сили `vec (F_(ik))`, с които и действа всяка от останалите материални точки от системата и външна сила `vec (F_i^e)` с която външни тела действат върху разглежданата точка `i`. След заместване и групирене на силите на вътрешни и външни, получаваме:

`(d vec{L})/(dt) = ` `sum_(i=1)^n vec{r_i} times (sum_(k = 1, k ne i)^n vec (F_(ik)) + vec (F_i^e) ) = ` `sum_(i=1)^n sum_(k = 1, k ne i)^n ( vec{r_i} times vec (F_(ik)) ) + sum_(i=1)^n vec{r_i} times vec (F_i^e)`

В двойната сума може да извършим групиране на материалните точки по двойки и да приложим третия принцип на механиката `vec (F_(ki)) = - vec (F_(ik))`, за да представим сумата във вида:

`sum_(i=1)^n sum_(k = 1)^(i-1) ( vec{r_i} times vec (F_(ik)) + vec{r_k} times vec (F_(ki)) ) = ` `sum_(i=1)^n sum_(k = 1)^(i-1) ( (vec{r_i} - vec{r_k}) times vec (F_(ik)) )`

В последната сума силата `vec (F_(ik))` има направление по правата, съединяваща точка `i` и точка `k` и е успоредна на вектора `vec{r_i} - vec{r_k}`, лежащ върху същата права, което води до нулиране на векторното произведение и на сумата от моментите на вътрешните сили. Така получаваме, че:

Скоростта на изменение на момента на импулса на системат от материални точки е равна на сумата от моментите на външните сили, действащи върху системата.

(155.3)
`(d vec{L})/(dt) = ` `sum_(i=1)^n vec{r_i} times vec(F_i^e)`

 

Направено с MyCMS. Copyright CC BY-ND 4.0.