Уравнение за изминение на момента на импулса

Страницата е създадена на:11 февруари 2018 и редактирана на:30 април 2018

Обикновено диференциално уравнение, отразяващо изменението на момента на импулса на една материална точка, може да се получи от основното уравнение на механиката. Нека да преобразуваме производната на момента на импулса, изхождайки от неговото определение:

`(d vec{L})/(d t) = (d (vec{r} times vec{p}))/(d t) = (d vec{r})/(d t) times vec{p} + vec{r} times (d vec{p})/(d t) `

Първото от произведанията в последния израз е нула, защото `(d vec{r})/(d t) = vec{v}` е скоростта на материалната точка, която има еднаква посока с вектора на импулса `vec{p} = m vec{v}`, а векторното произведение на еднопосочни вектори е нула.

Така получаваме, че производната на момента на импулса по времето е векторно произведение на радиус-вектора на материалната точка и производната по времето на нейния импулс:

(155.1)
`(d vec{L})/(dt) = vec{r} times (d vec{p})/(dt) = vec{r} times m dot vec{v}`

Във второто произведение, скоростта на изменение на импулса `(d vec{p})/(d t)` е равна на векторната сума `vec{F}` от силите, действащи на материалната точка и така стигаме да следното уравнение за изменение на момента на импулса:

(155.2)
`(d vec{L})/(d t) = vec{r} times vec{F}`

Векторното произведение ` vec{r} times vec{F}`, което стои в дясната страна на това уравнение се нарича момент на силата `vec{F}`. Следователно: Скоростта на изменение на момента на импулса е равна на момента на сумата от силите, които действат на материалната точка.

За система от материални точки, последното уравнение може да се запише за всяка точка от системата:

`(d vec{L_i})/(dt) = vec{r_i} times vec{F_i}`

След сумиране се получава уравнението за изменение на момента на импулса на системата:

(155.3)
`(d vec{L})/(dt) = ` `d/(dt) sum_(i=1)^n vec{L_i} = ` `sum_(i=1)^n vec{r_i} times vec{F_i}`

Скоростта на изменение на момента на импулса на системата е равна на сумата от моментите на силите, които действат в нея.

 

Направено с MyCMS. Copyright CC BY-ND 4.0.