Момент на импулса на система от материални точки

Страницата е създадена на:11 февруари 2018 и редактирана на:30 април 2018

Момент на импулса на система от материални точки се нарича векторната сума от моментите на материалните точки от системата.

Ако моментите на импулса на материалните точки от системата означим с `vec{L_1} = vec{r_1} times vec{p_1}`, `vec{L_2} = vec{r_2} times vec{p_2}`, `vec{L_3} = vec{r_3} times vec{p_3}`, ... `vec{L_n} = vec{r_n} times vec{p_n}` то мементът на импулса на системата е сумата:

`vec{L} = sum_(i=1)^n vec{L_i} = sum_(i=1)^n vec{r_i} times vec{p_i}`

Ако разгледаме нова координатна система, началото `O'` на която, има радиус-вектор `vec{r_(O')}` спрямо началото `O` на първоначалната, координатна система, за радиус вектора на всяка материална точка, имаме:

`vec{r_i} = vec{r_(O')} + vec{r'_i} `

където `vec{r'_i}` е радиус-векторът на материална точка, относно новата координатна система.

Диференцирнето на радиус-векторите по времето води до получаване на връзка между скоростите:

`vec{v_i} = vec{v_(O')} + vec{v'_i} `

според което скоростта на всяка материална точка спрямо първата координатна система `vec{v_i}` е сума от скоростта на началото на втората координатна система `vec{v_(O')}` и скоростта на материалната точка спрямо втората координатна система `vec{v'_i}`.

Ако използваме означения:

`M = sum_(i=1)^n m_i`
за обща маса на системата и

`vec{r_M} = 1/M sum_(i=1)^n vec{r_i} m_i`
`vec{r'_M} = 1/M sum_(i=1)^n vec{r'_i} m_i`
за радиус-вектор на центъра на масите спрямо всяка от разглежданите координатни системи,

за момента на импулса на системата от материални точки, получаваме:

`vec{L} = sum_(i=1)^n vec{r_i} times m_i ( vec{v_(O')} + vec{v'_i}) =`
`( sum_(i=1)^n m_i vec{r_i} ) times vec{v_(O')} +` ` sum_(i=1)^n vec{r_i} times m_i vec{v'_i} = `
`( sum_(i=1)^n m_i (vec{r_(O')} + vec{r'_i}) ) times vec{v_(O')} + ` `sum_(i=1)^n (vec{r_(O')} + vec{r'_i}) times m_i vec{v'_i} =`
`vec{r_(O')} times (sum_(i=1)^n m_i) vec{v_(O')} + ` `(sum_(i=1)^n m_i vec{r'_i}) times vec{v_(O')} +` ` vec{r_(O')} times sum_(i=1)^n m_i vec{v'_i} + sum_(i=1)^n vec{r'_i} times m_i vec{v'_i} =`
`vec{r_(O')} times M vec{v_(O')} + ` `vec{r'_M} times M vec{v_(O')} + ` `vec{r_(O')} times vec{P'} + vec{L'} = `
`(vec{r_(O')} + vec{r'_M}) times M vec{v_(O')} + ` `vec{r_(O')} times vec{P'} + vec{L'} = `
`vec{r_M} times M vec{v_(O')} + ` `vec{r_(O')} times vec{P'} + vec{L'}`

Първото събираемо в полечената сума от три члена може да се разглежда като момент на импулса на точка с маса, равна на общата маса на системата `M`, намираща се в центъра на масите на системата `vec{r_M}` и движеща се със скоростта на началото на втората координатна система `vec{v_(O')}`.

Във второто събираемо `vec{P'}` е импулса на системата спрямо втората координатна система. Ролята на този импулс в момента на импулса на системата спрямо първата координатна система е равносилна на импулс на материална точа, намираща се в началото на втората координатна система. Този импулс следва да се отчита, когато началото на втората координатна система не съвпада с центъра на масите.

Когато втората координатна система съвпада с центъра на масите `vec{P'} = 0` и:

`vec{L} = vec{r_M} times M vec{v_M} + vec{L'}`

 

Направено с MyCMS. Copyright CC BY-ND 4.0.