`ω_(ij) = 1/2 ( (partial v_j)/(partial x_i) - (partial v_i)/(partial x_j) )`
`v_(ij) = 1/2 ( (partial v_j)/(partial x_i) + (partial v_i)/(partial x_j) )`
`ρ (d v_i)/(d t) = (partial P_(ij) )/(partial x_j) + ρ f_i `

Уравнение на изменение на кинетичната енергия

Страницата е създадена на:14 февруари 2018 и редактирана на:24 август 2019

Кинетичната енергия на малка частица е:

`(Δ m   v^2) / 2` ,

а пълната производна по времето на кинетичната енергия на малка частица е:

`d/(dt)( (Δ m   v^2) / 2 ) = ` `Δ m   d/(dt) ( v^2/2 ) = ` `Δ V   ρ d/(dt) ( v^2/2 )` .

Пълната производна по времето на кинетичната енергия на малка частица, отнесена към единица обем, следователно, е:

`ρ d/(dt) ( v^2/2 ) = ` `ρ v_i dot v_i` .

За да установим връзка между силите, които действат на малката частица, и изменението на кинетичната й енергия, умножаваме уравнението на движението (153.1), което получихме, с `v_i` и сумираме по индекс `i = 1,2,3`:

`rho v_i dot v_i = ` `v_i (partial P_(ij) )/(partial x_j) + ρ v_i f_i` .

Двете суми в дясната страна представляват съответно, приведени към единица обем: мощността на повърхностните сили, с които действа на частицата заобикалящата я среда и мощността на обемните сили породени от външно силово поле. Първата сума представяме:

`v_i (partial P_(ij) )/(partial x_j) = ` `(partial v_i P_(ij))/(partial x_j) - (partial v_i)/(partial x_j) P_(ij)`.

Сега и в новото равенство да представим първото събираемо, така:

`(partial v_i P_(ij))/(partial x_j) = 1/(Δ V) ` Δ V `(partial v_i P_(ij))/(partial x_j) d V = ` `1/(Δ V)` Δ σ `v_i P_(ij) d s_j = ` `1/(Δ V)` Δ σ `v_i d F_i^s`

При това представяне използваме, че обемът `Δ V` е малък и изразът има константна стойност във всичките му точки, което позволява да го прехвърлим след знака на обемния интеграл. След това преобразуваме обемният интеграл в интеграл по повърхността на този обем. Полученият повърхностен интеграл представлява мощността на повърхностните сили, свързана с преместването му.

С използване на означения (112.10) и (112.11), за второто събираемо получаваме:

(160.1)
`(partial v_i)/(partial x_j) P_(ij) = ` `( v_(ji) + ω_(ji) ) P_(ij) =` `v_(ji) P_(ij)`

защото `ω_(ji) P_(ij) = 0` поради това, че `ω_(ji)` е антисиметричен, а `P_(ij)` е симетричен тензор. Този израз може да се тълкува като мощност на повърхностните сили, проявена при деформиране на малката частица от силите.

Като обединим, направените преобразувания, получаваме следното уравнение за измерение на кинетичната енергия на единица обем от малка частица на непрекъсната среда:

`ρ d/(dt) ( v^2/2 ) = ` `1/(Δ V)` Δ σ `v_i d F_i^s - ` `v_(ji) P_(ij) + ` `ρ v_i f_i`

Ако обемните сили са консервативни, могат да се представят като градиент на потенциална енергия на единица обем от непрекъснатата среда `u`:

`f_i = - (partial u)/(partial x_i)`

Да изразим пълната производна по времето на потенциалната енергия на единица обем:

`(d u)/(d t) = (partial u)/(partial t) + (partial u)/(partial x_i) (d x_i)/(d t) = (partial u)/(partial t) - f_i v_i `

Ако умножим това равенство с `rho` и го съберем с уравнението за изменение на кинетичната енергия, получаваме уравнение за изменение на пълната механична енергия на единица обем на непрекъснатата среда.

`ρ d/(dt) ( v^2/2 + u ) = ` `v_i (partial P_(ij))/(partial x_j) + ρ (partial u)/(partial t)`

 

Направено с MyCMS. Copyright CC BY-ND 4.0.