`ω_(ij) = 1/2 ( (partial v_j)/(partial x_i) - (partial v_i)/(partial x_j) )`
`v_(ij) = 1/2 ( (partial v_j)/(partial x_i) + (partial v_i)/(partial x_j) )`
`ρ (d v_i)/(d t) = (partial P_(ij) )/(partial x_j) + ρ f_i `

Уравнение на изменение на кинетичната енергия

Страницата е създадена на:14 февруари 2018 и редактирана на:11 юли 2019

Кинетичната енергия на малка частица е:

`(Δ m   v^2) / 2` ,

а пълната производна по времето на кинетичната енергия на малка частица е:

`d/(dt)( (Δ m   v^2) / 2 ) = ` `Δ m   d/(dt) ( v^2/2 ) = ` `Δ V   ρ d/(dt) ( v^2/2 )` .

Пълната производна по времето на кинетичната енергия на малка частица, отнесена към единица обем, следователно, е:

`ρ d/(dt) ( v^2/2 ) = ` `ρ v_i dot v_i` .

За да установим връзка между силите, които действат на малката частица, и изменението на кинетичната й енергия, умножаваме уравнението на движението (153.1), което получихме, с `v_i` и сумираме по индекс `i = 1,2,3`:

`rho v_i dot v_i = ` `v_i (partial P_(ij) )/(partial x_j) + ρ v_i f_i` .

Двете суми в дясната страна представляват съответно, приведени към единица обем: мощността на повърхностните сили, с които действа на частицата заобикалящата я среда и мощността на обемните сили породени от външно силово поле. Първата сума представяме:

`v_i (partial P_(ij) )/(partial x_j) = ` `(partial v_i P_(ij))/(partial x_j) - (partial v_i)/(partial x_j) P_(ij)`.

Сега и в новото равенство да представим първото събираемо, така:

`(partial v_i P_(ij))/(partial x_j) = 1/(Δ V) ` Δ V `(partial v_i P_(ij))/(partial x_j) d V = ` `1/(Δ V)` Δ σ `v_i P_(ij) d s_j = ` `1/(Δ V)` Δ σ `v_i d F_i^s`

При това представяне използваме, че обемът `Δ V` е малък и изразът има константна стойност във всичките му точки, което позволява да го прехвърлим след знака на обемния интеграл. След това преобразуваме обемният интеграл в интеграл по повърхността на този обем. Полученият повърхностен интеграл представлява мощността на силите, действащи по повърхността на малкия обем, свързана с преместването му.

С използване на означения (112.7) и (112.8), за второто събираемо получаваме:

`(partial v_i)/(partial x_j) P_(ij) = ` `( v_(ji) + ω_(ji) ) P_(ij) =` `v_(ji) P_(ij)`,

защото `ω_(ji) P_(ij) = 0` поради това, че `ω_(ji)` е антисиметричен, а `P_(ij)` е симетричен тензор. Този израз може да се тълкува като мощност, проявена при деформиране на малката частица от силите, с които заобикалящото малката частица вещество действа на повърхността й.

Като обединим, направените преобразувания, получаваме следното уравнение за измерение на кинетичната енергия на единица обем от малка частица на непрекъсната среда:

`ρ d/(dt) ( v^2/2 ) = ` `1/(Δ V)` Δ σ `v_i d F_i^s + ` `v_(ji) P_(ij) + ` `ρ v_i f_i`

Ако обемните сили са консервативни, могат да се представят като градиент на потенциална енергия на единица обем от непрекъснатата среда `u`:

`f_i = - (partial u)/(partial x_i)`

Да изразим пълната производна по времето на потенциалната енергия на единица обем:

`(d u)/(d t) = (partial u)/(partial t) + (partial u)/(partial x_i) (d x_i)/(d t) = (partial u)/(partial t) - f_i v_i `

Ако умножим това равенство с `rho` и го съберем с уравнението за изменение на кинетичната енергия, получаваме уравнение за изменение на пълната механична енергия на единица обем на непрекъснатата среда.

`ρ d/(dt) ( v^2/2 + u ) = ` `v_i (partial P_(ij))/(partial x_j) + ρ (partial u)/(partial t)`

 

Направено с MyCMS. Copyright CC BY-ND 4.0.