Интензитет на електричното поле на равномерно зареден цилиндър

Страницата е създадена на:19 октомври 2018 и редактирана на:19 октомври 2018

Да намерим с помощта на теоремата на Гаус интензитета на електричното поле, създавано от безкраен цилиндър, повърхността на който е равномерно заредена с постоянна плътност на електричния заряд σ . От съображения за симетрия следва, че интензитета на електричното поле на този цилиндър във всяка точка от пространството има посока, перпендикулярна на оста на цилиндъра и еднаква големина в точките, разположени на едно и също разстояние от оста r .

Да изразим потока на интензитета на електричното поле през повърхността на друг цилиндър, чиято ос съвпада с тази на заредения безкраен цилиндър, височината му е h  и радиуса на основата: r . Векторът на интензитета на електричното поле е успореден на основите на този цилиндър и следователно потока на интензитета през тях е нула. Но вектора на интензитета е перпендикулярен на околна повърхност на същия цилиндър и следователно потока на интензитета през околната му повърхност е равен на произведението от големината на интензитета E  и лицето на околната повърхност S = 2 π rh : Φ E = E S = E 2 π rh . Очевидно, потокът на интензитета на електричното поле през цялата повърхност на разглеждания цилиндър е също:

Φ E = E 2 π rh .

Зарядът, който се намира във вътрешността на този цилиндър е нула, ако неговия радиус е по-малък от радиуса на заредения цилиндър. По теоремата на Гаус от това следва, че потока на интензитета на електричното поле също трябва да е нула, но тогава от получения израз E 2 π rh = 0  следва, че и интензитета не електричното поле е нула. Следователно, във вътрешността на заредения цилиндър интензитета на електричното поле е нула.

Когато разглеждания цилиндър има радиус r  по-голям от радиуса R  на заредения цилиндър, във вътрешността му попада целият заряд намиращ се на повърхността S'  на затворената в него част от заредения цилиндър. Този заряд е Q = σ S' = σ 2 π R h . Вместо като равномерно разпределен по повърхност с повърхнинната плътност на заряда σ , този заряд можем да разглеждаме и като равномерно разпределен по дължината (височината) на цилиндъра. Разпределението на електричен заряд по дължина се описва с линейна плътност на заряда. Ако върху част с дължина h  на дадено тяло има електричен заряд Q  отношението:

λ = Q h

се нарича средна линейна плътност на електрическия заряд върху това тяло. В нашия случай заряда на частта от заредения цилиндър с височина h  има стойност Q = λ h , при което λ = σ 2 π R . Сега от теоремата на Гаус се получава: Φ E = E 2 π r h = Q ϵ 0 ϵ = λ h ϵ 0 ϵ , и следователно:

E   = 1 2 π ϵ 0 ϵ λ r .

Вижда се, че интензитета на електричното поле извън заредения цилиндър намалява обратно пропорционално на разстоянието r  от оста му. Освен това във формулата не участва радиуса R  на заредения цилиндър. Следователно тази формулата остава в сила и за цилиндър с безкрайно малък радиус, т.е. за равномерно заредена безкрайна, права нишка. Може да се каже още, че електричното поле извън един равномерно зареден цилиндър е такова, сякаш се създава от заряди разпределени с постоянна линейна плътност само по оста на цилиндъра.

 

Направено с MyCMS. Copyright CC BY-ND 4.0.