Потенциална енергия на електрични зеряди

Страницата е създадена на:19 октомври 2018 и редактирана на:19 август 2019

Нека в електричното поле, създавано от електричен заряд Q  да се движи по произволна траектория друг заряд q . Нека да отчитаме движението спрямо отправна система с начало в заряда Q . Да пресметнем работата на електростатичните сили при движението на заряда q  от точка 1 до точка 2. Нека r 1  е радиус-вектора на q  в точка 1, а r 2  - радиус-вектора на q  в точка 2. Работата на електричните сили се изразява с интеграла:

A = r 1 r 2 F . d r .

Скаларното произведение под интеграла може да се представи така:

F . d r = F . d r . cos   α ,

където α  е ъгъла между безкрайно малкото преместване d r  и силата F . От геометрични съображения следва, че произведението d r . cos   α  е равно на изменението на разстоянието r  между зарядите, т.е.: d r . cos   α = dr . Големината на силата според закона на Кулон e F = qQ 4 π ϵ 0 ϵ   r 2  и очевидно зависи само от разстоянието между зарядите r , но не и от посоката на радиус-вектора r . Следователно скаларното произведение в интеграла е:

F . d r = qQ   dr 4 π ϵ 0 ϵ   r 2

и както се вижда зависи само от изменението на разстоянието r  между зарядите, но не и от траекторията на движение. Следователно, за граници на интегриране можем да вземем разстоянието между зарядите в началното и крайното положение:

A = r 1 r 2 qQ   dr 4 π ϵ 0 ϵ   r 2 .

Интегрираме:

r 1 r 2 qQ   dr 4 π ϵ 0 ϵ   r 2 = qQ 4 π ϵ 0 ϵ r 1 r 2 dr r 2 = qQ 4 π ϵ 0 ϵ . 1 r | r 1 r 2 = qQ 4 π ϵ 0 ϵ   r 2 qQ 4 π ϵ 0 ϵ   r 1 .

и за работата получаваме:

A = qQ 4 π ϵ 0 ϵ   r 2 qQ 4 π ϵ 0 ϵ   r 1 .

Така виждаме, че работата на електричните сили зависи само от началното и крайното положение на зарядите (по-точно дори само от разстоянието между зарядите в начално и крайно положение), но не зависи от траекторията на движение, следователно електричните сили на взаимодействие са консервативни. Получената формула освен това дава възможност да представим работата на електричните сили като взето със знак минус изменение на една величина:

E p = qQ 4 π ϵ 0 ϵ   r ,

която наричаме потенциална енергия на взаимодействието на електричните заряди. Т.е.:

A = E p 2 E p 1 = Δ E p ,

където E p 1 = qQ 4 π ϵ 0 ϵ   r 1  е потенциалната енергия в началното, а E p 2 = qQ 4 π ϵ 0 ϵ   r 2  - потенциалната енергия в крайното положение.

На потенциалната енергия при взаимодействието на електрични заряди може да се гледа по два различни начина - от една страна като на потенциална енергия на системата, състояща се тези заряди, а от друга страна, като на потенциална енергия на всеки от зарядите в електричното поле на останалите. Всъщност как да подходим зависи от това каква система разглеждаме - в първия случай в разглежданата система включваме всички заряди и полето на взаимодействието между тях, а във втория - като система разглеждаме само един заряд, а останалите заряди и полето на тези заряди, играят роля на външна среда за тази система от един заряд. По-нататък ще използваме повече втория подход.

Поради принципа за суперпозиция работата на електричните сили A , с които действат заедно върху даден заряд няколко други заряда е равна на сумата от работите A 1 , A 2 , ..., A n , които биха извършвали електричните сили, ако зарядите действаха поотделно: A = A 1 + A 2 + ... + A n . В резултат може да се покаже, че потенциалната енергия E p  на един заряд в полето на няколко други заряда е равна на сумата от потенциалните енергии E p 2 , E p 1 , ..., E p n , които той би имал в полето на всеки от зарядите поотделно:

E p = E p 1 + E p 2 + ... + E pn .

 

Направено с MyCMS. Copyright CC BY-ND 4.0.