Връзка между потенциала и интензитета на електричното поле

Страницата е създадена на:19 октомври 2018 и редактирана на:19 октомври 2018

Нека електричен заряд q  да извършва малко преместване Δ r  в електрично поле с интензитет E . Понеже преместването е малко можем да приемем, че интензитета на полето е един и същ във всички точки, през които преминава заряда при това преместване. Следователно постоянна остава и силата F = q E , с която електричното поле действа на заряда и работата на тази сила е:

A = F . Δ r = q E . Δ r .

От друга страна същата работа може да се изрази с напрежението (потенциалната разлика) между началната и крайната точка:

A = q ( ϕ 1 ϕ 2 ) = q ( ϕ 2 ϕ 1 ) = q Δ ϕ .

Като приравним двата израза и съкратим на заряда получаваме следната връзка между интензитета и потенциала на електричното поле в близко разположени точки:

E . Δ r = Δ ϕ   .

Нека преместването на заряда е по направление на оста x  на координатната система. В този случай скаларното произведение на интензитета и преместването се свежда до произведението:

E . Δ r = E x Δ x

на координатата E x  на вектора на интензитета и изменението Δ x  на координатата x . Следователно: E x Δ x = Δ ϕ . Или:

E x = Δ ϕ Δ x .

Тази формула е приблизителна и нейната точност зависи от това доколко наистина е малко извършеното преместване така, че да може да се приеме, че при извършването му координатата на интензитета E x  остава постоянна. Точна формула ще имаме ако преместването клони към нула: Δ x 0 , следователно:

E x = lim Δ x 0 Δ ϕ Δ x .

Границата в дясната страна на това равенство съвпада с определението за частна производна ϕ x  на потенциала ϕ  по координатата x , следователно може да напишем, че координатата E x  на интензитета на електричното поле е равна на взетата със знак минус частна производна на потенциала по координатата x :

E x = ϕ x .

С аналогични разсъждения се получава, че и другите две координата на интензитета на електричното поле са равни на съответните, взети със знак минус частни производни на потенциала:

E y = ϕ y     и     E z = ϕ z .

Векторът, който ще означаваме с ϕ  (чете се "набла фи") или с grad ϕ , чиито координати са равни на частните производни на потенциала по трите пространствени координати:

ϕ   grad ϕ ( ϕ x , ϕ y , ϕ z ) .

представлява градиент на потенциала ϕ . Следователно, интензитетът на електричното поле е равен на взетия със знак минус градиент на потенциала:

E = ϕ   grad   ϕ .

Намерената връзка между интензитета и потенциала на електричното поле освен теоретично има и практично значение, защото в много случаи е по-лесно да се пресметне потенциала на електричното поле и след това чрез диференциране може да се определи и интензитета на електричното поле.

 

Направено с MyCMS. Copyright CC BY-ND 4.0.