Интензитет на електричното поле на дипол

Страницата е създадена на:19 октомври 2018 и редактирана на:24 юли 2019

След като разполагаме с формула за потенциала на електричното поле на дипол, интензитетът на електричното поле може да намерим използвайки, връзката между интензитет и потенциал на електричното поле.

Нека интензитетът на електричното поле, създавано от дипола в дадена точка от пространството да представим като сума от два вектора:

E = E r + E a ,

където E r  е вектор с радиално направление, т.е. по правата, съединяваща дадената точка с центъра на дипола, а E α  е вектор с направление перпендикулярно на радиалното. Индексът r  означава, че направлението на вектора е свързано с изменение на разстоянието до дипола r , а индексът α  - че направлението на вектора е свързано с изменение на ъгъла α  между диполния момент и посоката от центъра на дипола към разглежданата точка.

Разстоянието между две близко разположени в радиално направление точки, очевидно е равно на изменението Δ r  на разстоянието r . Разстоянието между две близко разположени в перпендикулярно на радиалното направление точки е: r Δ α , където r  е разстоянието от тези точки до центъра на дипола, а Δ α  е ъгъла, под който се вижда разстоянието между точките от центъра на дипола. Изразявайки връзката между големините на векторите E r  и E α  и изменението Δ ϕ  на потенциала в близко разположени по направление на тези вектори точки получаваме:

E r = Δ ϕ Δ r       и       E α = Δ ϕ r Δ α .

Тези формули са приблизителни. Точните стойности на E r  и E α  са границите на написаните отношения при Δ r 0  и Δ α 0 , които граници представляват частни производни на потенциала:

E r = ϕ r       и       E α = 1 r ϕ α .

Като заместим потенциала на дипола по формулата от предишния въпрос намираме:

E r = r p 4 π ϵ 0 ϵ cos   α r 2 = p   cos   α 4 π ϵ 0 ϵ r r 2 = 2 p   cos   α 4 π ϵ 0 ϵ r 3   и:

E α = 1 r α p   cos   α 4 π ϵ 0 ϵ r 2 = p 4 π ϵ 0 ϵ r 3 cos   α α = p   sin   α 4 π ϵ 0 ϵ r 3 .

Или:

E r = 2 p   cos   α 4 π ϵ 0 ϵ r 3       и       E α = p   sin   α 4 π ϵ 0 ϵ r 3 .

От тези формули виждаме, че в точките, разположени по оста на дипола, за които α = 0 :

E r = 2 p 4 π ϵ 0 ϵ r 3       и       E α = 0 ,

а в точките, разположени върху симетралата на дипола, за които α = π / 2 :

E r = 0       и       E α = p 4 π ϵ 0 ϵ r 3 .

И в двата случая векторът на интензитета на електричното поле има посока съвпадаща с посоката на дипола, но върху оста на дипола интензитетът на електричното поле има два пъти по-голяма стойност, отколкото в точките от симетралата, намиращи се на същото разстояние. В точките за които: α = π  и α = 3 π / 2 , стойностите на интензитета на електричното поле са с противоположен знак, т.е. посоката на вектора на интензитета е обратна на посоката на диполния момент.

Големината на интензитета на електричното поле в произволна точка е:

E = E r 2 + E α 2 = 2 p   cos   α 4 π ϵ 0 ϵ r 3 2 + p   sin   α 4 π ϵ 0 ϵ r 3 2 = p 4 π ϵ 0 ϵ r 3 1 + 3   cos 2 α .

Нека да обърнем внимание още, че големината на интензитета на електричното поле на дипол зависи обратно пропорционално на третата степен на разстоянието от дипола, т.е. намалява по-бързо с разстоянието, в сравнение с интензитета на полето, създавано от точков заряд, който е обратно пропорционален на втората степен на разстоянието.

 

Направено с MyCMS. Copyright CC BY-ND 4.0.