Произволно движеща се координатна система

Страницата е създадена на:26 юли 2019 и редактирана на:11 август 2019

Нека да разгледаме две отправни системи с декартови координатни системи `Oxyz` и `O'x'y'z'`. Да приемем, че първата отправна система е неподвижна, а втората извършва спрямо първата произволно движение.

Да означим радиус вектора на една материална точка спрямо първата координатна система с `vec r`, а спрямо втората с `vec (r')`. Очевидно:

(323.1)
`vec r = vec (r_(O')) + vec (r')`

където `vec (r_O')` е радиус векторът на началото на подвижната координатна система спрямо неподвижната.

Всеки от тези вектори може да се представи чрез координатите и единичните вектори в съответните отправни системи:

`vec r = x_O' vec(e_x) + y_O' vec(e_y) + z_O' vec(e_z) + ` `x' vec(e'_x) + y' vec(e'_y) + z' vec(e'_z)`

За да намерим скоростта на разглежданата точка спрямо двете координатни системи да извършим диференциране по времето, като имаме предвид, че производните на единичните вектори на неподвижната отправна система са нула, защото не се променят с времето.

(323.2)
`vec v = dot(vec r) = dot(x)_(O') vec(e_x) + dot(y)_(O') vec(e_y) + dot(z)_(O') vec(e_z) +` `dot(x)' vec(e'_x) + dot(y)' vec(e'_y) + dot(z)' vec(e'_z) + ` `x' dot(vec(e'_x)) + y' dot(vec(e'_y)) + z' dot(vec(e'_z))`

Първата група от три събираеми `dot(x)_(O') vec(e_x) + dot(y)_(O') vec(e_y) + dot(z)_(O') vec(e_z) = vec (v_(O'))` е скоростта на началото на подвижната координатна система спрямо неподвижната. Втората група от три събираеми `dot(x)' vec(e'_x) + dot(y)' vec(e'_y) + dot(z)' vec(e'_z) = vec(v')` е скоростта на материалната точка спрямо подвижната координатна система. За да открием смисъла на третата група събираеми, да разгледаме върховете на единичните вектори на подвижната система като точки от идеално твърдо тяло, което извършва комбинация от постъпателно движение, описвано като движение на началото на координатната система и въртеливо движение, което се описва с подходящ за дадения момент време вектор на ъглова скорост на въртене на подвижната система спрямо неподвижната. Производните по времето на единичните вектори на подвижната система са скоростите на техните върхове спрямо неподвижната система и се изразяват с векторни произведения:

(323.3)
`dot(vec(e'_x)) = vec omega times vec(e'_x)`  
`dot(vec(e'_y)) = vec omega times vec(e'_y)`  
`dot(vec(e'_z)) = vec omega times vec(e'_z)`   `

Следователно:

`x' dot(vec(e'_x)) + y' dot(vec(e'_y)) + z' dot(vec(e'_z)) = ` `vec omega times ( x' vec(e'_x) + y' vec(e'_y) + z' vec(e'_z) ) = ` `vec omega times vec(r')`

Търсената връзка между скоростите на материалната точка в двете системи е:

(323.4)
`vec v = vec(v_(O')) + vec omega times vec(r') + vec(v')`

Двата вектора в сумата `vec(v_(O')) + vec omega times vec(r')` представляват скоростта на фиксирана спрямо подвижната система точка с радиус вектор `vec(r')`, чието движение е комбинация от постъпателното движени със скорост `vec(v_(O'))` и въртене, водещо до движение скорост `vec omega times vec(r')`. Сумата от тези вектори представляват скорост, която се дължи на движението на подвижната координатна система и се нарича скорост на преноса.

За да намерим връзка между ускоренията на материална точка спрямо двете отправни системи диференцираме по времето формула (323.2).

`vec a = ` `dot(vec v) = ` `ddot (x)_(O') vec(e_x) + ddot(y)_(O') vec(e_y) + ddot(z)_(O') vec(e_z) +` `ddot(x)' vec(e'_x) + ddot(y)' vec(e'_y) + ddot(z)' vec(e'_z) + ` `dot(x)' dot(vec(e'_x)) + dot(y)' dot(vec(e'_y)) + dot(z)' dot(vec(e'_z)) +` `d/(dt)( vec omega times ( x' vec(e'_x) + y' vec(e'_y) + z' vec(e'_z) ) )`

Първата група от три събираеми `ddot (x)_(O') vec(e_x) + ddot(y)_(O') vec(e_y) + ddot(z)_(O') vec(e_z) = vec (a)_(O')` ускорението на началото на подвижната координатна система спрямо неподвижната.

Втората група от три събираеми `ddot(x)' vec(e'_x) + ddot(y)' vec(e'_y) + ddot(z)' vec(e'_z) = vec(a')` е ускорението на материалната точка спрямо подвижната отправна система.

Третата група от събираеми преобразуваме с помощта на формули (323.3):

`dot(x)' dot(vec(e'_x)) + dot(y)' dot(vec(e'_y)) + dot(z)' dot(vec(e'_z)) = ` `vec omega times ( dot(x)' vec(e'_x) + dot(y)' vec(e'_y) + dot(z)' vec(e'_z) ) = ` `vec omega times vec(v')`

От последната производна по времето получаваме:

`d/(dt)( vec omega times ( x' vec(e'_x) + y' vec(e'_y) + z' vec(e'_z) ) ) = ` `dot(vec omega) times vec(r') + vec omega times vec(v') + vec omega times ( vec omega times vec(r') )`

Следователно, търсената връзка между ускоренията на материална точка в двете отправни системи е:

(323.5)
`vec a = ` `vec (a)_(O')+ vec omega times ( vec omega times vec(r') ) + dot(vec omega) times vec(r') + 2 vec omega times vec(v') + vec(a')`

Когато материалната точка не се движи спрямо подвижната система, последните две събираеми са нула, така, че първите три събираеми в ускорението на материалната точка спрямо неподвижната система се дължат единствено на движението на втората отправна система. Сумата от тези събираеми се нарича преносно ускорение. Първото събираемо е ускорението на постъпателното движение на подвижната отправна система. Второто събираемо е вектор, който има посока към оста на въртене и големина `omega^2 l`, където `l` е разстоянието от точката до остта на въртене - радиуса на окръжността, която се описва от точката при въртенето около оста. Тове е центростремително ускорение при движение по окръжност. Третото събираемо е свързано с ъгловото ускорение `dot vec omega` при неравномерно въртене на подвижната отправна система.

Ускорението, което се изразява с векторното произведение `2 vec omega times vec(v')` възниква само при движение на материална точка във въртяща се отправна система и се нарича кориолисово ускорение или ускорение на Кориолис.

 

Направено с MyCMS. Copyright CC BY-ND 4.0.