`v_(ср.) = omega_(ср.) r`   или   `v = omega r`

Движение на твърдо тяло

Страницата е създадена на:26 юли 2019 и редактирана на:16 август 2019

Абсолютно твърдо тяло се нарича тяло, което не променя своята форма. За краткост думата "абсолютно" ще пропускаме, така че използвайки само думите "твърдо тяло", ще имаме предвид "абсолютно твърдо тяло".

Разстоянието между кои да се две точки от твърдото тяло остава постоянно при неговото движение, а също така и ъглите между кои да са отсечки от твърдото тяло не се променят.

Различават се два основни вида движение на твърдо тяло: постъпателно и въртеливо.

Постъпателно движение се нарича движение, при което всички точки от твърдото тяло извършват еднакви премествания. Имаме предвид еднакви като вектори - преместванията са с еднакви посоки и с равни големини. За описване на постъпателното движение на цялото твърдо тяло е достатъчно да се познава движението на една негова точка. Законът за движението, скоростта и ускорението на всяка друга точка от тялото са същите. Ориентацията на твърдото тяло в пространството при постъпателно движение не се променя. Всяка отсечка от твърдото тяло е успоредна на всяко свое предишно положение.

Въртеливо движение е движение, при което всяка точка от твърдото тяло се движи по окръжност с еднаква за всички точки ъглова скорост. Центровете на траекториите на всички точки лежат върху обща права, наречена ос на въртене, а самите траектории лежат в перпендикулярни на оста равнини.

Еднаквата ъглова скорост на всички точки от твърдото тяло произтича от това, че ъглите между отсечки от тялото не могат да се променят и на какъвто ъгъл се завърти една точка, на същият ъгъл се завъртат и всички останали точки.

Удобно е ъгловата скорост при въртеливо движение на твърдо тяло да се приеме за вектор с големина равна на първата производна на ъгъла на въртене `phi` по времето

`omega = (d phi)/(dt)`

и с посока по направление на оста, такава, че при гледане по посока на вектора на ъгловата скорост въртенето да е по посока на часовниковата стрелка. Тази посока върху оста на въртене се приема за положителна посока на оста на въртенето.

В общия случай векторът на ъгловата скорост зависи от времето, функция е на времето, и може да се променя както по големина така и по посока. Така че всяка ос на въртене и всяка стойност на ъгловата скорост трябва да се разглеждат като моментна ос на въртене и като моментна ъглова скорост.

Ако радиус векторът на точка от твърдото тяло спрямо координатна система с начало, намиращо се върху оста на въртене е `vec r`, то векторът на скоростта `vec v` на тази точка от твърдото тяло е векторно произведение:

`vec v = vec omega times vec r`

Тази формула се явява векторно обобщение на формула (65.4) за движението по окръжност. Ако умножим тази формула по малък интервал време `dt`, получаваме:

`vec v dt = vec omega dt times vec r`

Но `vec v dt` представлява преместването `d vec r` на точката от тялото, осъществено през малкия интервал време `dt`, а `vec omega dt` е вектор, който има посока, определена по правилото за посоката на вектора на ъгловата скорост и големина равна на ъгъла `d phi = omega dt`, описан от точката на тялото за време `dt`. За този вектор да въведем означение `vec (d phi)`. Следователно малко преместване на точка от тялото при въртеливо движение може да се представи с векторно произведение по формулата:

`vec (dr) = vec (d phi) times vec r`

Да обърнем внимание, че векторът `vec (d phi)` представлява удобен начин за векторно представяне на завъртането на твърдо тяло на малък ъгъл. Този вектор има направление на оста на въртене, като гледано в неговата посока въртенето е по часовниковата стрелка и големината на този вектор е равна на малък ъгъл на завъртане на тялото. Векторното представяне е удобно с това, че резултатът от малки завъртания около различни, пресичащи се в една точка оси може да се представи като векторна сума на векторите на тези завъртания. Ако една точка от твърдото тяло с радиус вектор `vec r` спрямо пресечната точка на осите на двете завъртания извършва последователно две малки завъртания:

`vec (dr_1) = vec (d phi_1) times vec r`
`vec (dr_2) = vec (d phi_2) times vec r`

Общото преместване в резултат на тези завъртания е:

`vec (dr) = vec(dr_1) + vec(dr_2) = ` `vec (d phi_1) times vec r + vec (d phi_2) times vec r = ` `( vec(d phi_1) + vec(d phi_2) ) times vec r = ` `vec (d phi) times vec r`

Което може да се разглежда като резултат от малко завъртане с вектор:

`vec (d phi) = vec (d phi_2) + vec (d phi_2)`

Привидно отделен вид движение на твърдо тяло може да бъде движение, при което остава неподвижна само една точка от тялото, а се променя ориентацията на тялото в пространството. Казваме "привидно", защото може да се докаже следната теорема на Ойлер:

Всяко изменение на положението на твърдо тяло, при което остава неподвижна поне една точка от тялото може да се осъществи чрез въртене на тялото около ос.

За доказване на тази теорема разглеждаме сферично твърдо тяло, което се движи така, че остава постоянно неподвижен центъра на сферата. Нека да е извършено изменение на положението на сферата, при което точка `A_1` от нейната повърхност се е преместила в точка `A_2`, а точка `B_1` се е преместила в точка `B_2`. Да прекараме от точка `A_1` до точка `A_2` дъга от голям кръг на сферата, а след това през средата на тази дъга, перпендикулярно - друг голям кръг `1`. Аналогично да прекарамe дъга `B_1 B_2` и през средата й - голям кръг `2`. Нека дъгите `1` и `2` се пресичат в точка `P`. Сферичните триъгълници `Delta A_1 B_1 P` и `Delta A_2 B_2 P` са еднакви, защото имат за страни, равни дъги. `A_1 P = A_2 P` поради начина на прекарване на големия кръг `1`, който се явява симетрала на дъгата `A_1 A_2` и всяка точка от него е на равни дъги от краищата на `A_1 A_2`. Аналогично `B_1 P = B_2 P`, а `A_1 B_1 = A_2 B_2` защото това са две положения на една и съща дъга от твърдо тяло. От еднаквостта на триъгълниците следва равенство на ъглите им при върха `P`: `angle A_1 P B_1 = angle A_2 P B_2`. От равенството на тези ъгли следва равенство на ъглите между съответните им рамене: `angle A_1 P A_2 = angle B_1 P B_2`. Следователно промяната на положението на дъгата `A_1 B_1` до положение `A_2 B_2` представлява въртене около ос минаваща през центъра на сферата и точка `P` на ъгъл`angle A_1 P A_2` или на равния му `angle B_1 P B_2`.

Следствие от тази теорема е, че всяка промяна в положението на едно твърдо тяло в пространството може да се представи като сумарен резултат от две осъществени движения едното от които е постъпателно, а другото въртеливо. При това видът на постъпателното движение не е еднозначно определим, защото ако се разгледа движението на различни точки от тялото ще се получат различни движения, но въртеливото движение винаги трябва да води до едно и също изменение на ориентацията на тялото в пространството, затова то е на един и същи ъгъл, с една и съща посока на оста на въртене, макар и спрямо различни точки - точката, чието постъпателно движение се разглежда.

Така че за пълно описване на движението на едно абсолютно твърдо тяло първо трябва да изберем някоя точка от тялото `O`, да установим закона за движението на тази точа, представен като зависимост от времето на радиус вектора й `vec (r_O) (t)` и второ да установим промените на ориентацията на тялото в пространството с течение на времето. Промяна на ориентацията на твърдо тяло в пространството се свежда до въртене около ос, минаваща през точка `О` със зависещ от времето вектор на ъгловата скорост `vec omega (t)`. Пълното описание на движението на твърдото тяло се съдържа в двете векторни функции:

(324.1)
`vec (r_O) (t)` и `vec omega (t)`

Установяването на тези функции се извършва по начини, разработени в динамиката на абсолютно твърдо тяло (Вижте Механика на твърдо тяло).

 

Направено с MyCMS. Copyright CC BY-ND 4.0.