`I_(ij) = sum m (delta_(ij) r^2 - x_i x_j)`
`vec (r_O) (t)` и `vec omega (t)`

Кинетична енергия на абсолютно твърдо тяло

Страницата е създадена на:10 август 2019 и редактирана на:19 август 2019

Както видяхме в Движение на твърдо тяло движението на абсолютно твърдо тяло се описва напълно с две векторни функции (324.1). За да намерим кинетичната енергия на абсолютно твърдо тяло, го разглеждаме като система от малки части, всяка от които може да се приеме за материална точка. Кинетичната енергия на тялото е сума от кинетичните енергии на всички тези части.

`E_k = sum_(i=1)^N (m_i v_i^2 )/2`

Скоростта на произволна точка от тялото може да се представи като сума от скоростта на постъпателното движение на произволна точка от тялото `vec(v_O)` и скоростта на въртеливото движение около ос, минаваща през тази точка с ъглова скорост `vec omega`:

`vec v_i = vec(v_O) + vec omega times vec(r_i)`

където `vec(r_i)` е радиус-векторът на точката от тялото спрямо точка `O`.

Скаларният квадрат на тази векторна сума е:

`(vec v_i)^2 = v_i^2 = ` `(vec(v_O) + vec omega times vec(r_i))(vec(v_O) + vec omega times vec(r_i)) =` `v_O^2 + 2 vec(v_O).(vec omega times vec(r_i)) + (vec omega times vec(r_i))^2`

След заместване в сумата за пресмятане на кинетичната енергия получаваме:

(327.1)
`E_k = sum_(i=1)^N ( m_i v_O^2)/2 + ` `sum_(i=1)^N m_i vec(v_O).(vec omega times vec(r_i)) + ` `sum_(i=1)^N ( m_i (vec omega times vec(r_i))^2 )/2 =`
`(M v_O^2)/2 + vec(v_O).(vec omega times M vec{r_m}) +` `sum_(i=1)^N ( m_i (vec omega times vec(r_i))^2 )/2`

В написаните формули с `M = sum_(i=1)^N m_i` е масата на твърдото тяло, а `vec{r_m} = ( sum_(i=1)^N m_i vec{r_i})/( sum_(i=1)^N m_i)` е радиус-векторът на центъра на масите на твърдото тяло.

От последния получен израз се вижда, че кинетичната енергия на твърдото тяло се състои от три събираеми: Първото събираемо е кинетичната енергия на постъпателното движение на твърдото тяло като цяло, като на материална точка с маса равна на масата на тялото и скорост съвпадаща със скоростта на точка `O` от тялото, чието постъпателно движение разглеждаме. Второто събираемо отчита въртенето на центъра на масите на твърдото тяло около точка `O`. Ако постъпателното движение на твърдото тяло се разгледа като движение на центъра на масите, това събираемо е нула. Третото събираемо представлява кинетична енергия на въртеливото движение на твърдото тяло. Нека да изведем формула за тази част от кинетичната енергия при въртене около центъра на масите, която ще означим с `E'_k`.

Скаларният квадрат на векторното произведение от ъгловата скорост и радиус-вектора може да се представи с двойна сума, която ще напишем пропускайки знака за сумиране:

`(omega times vec{r})^2 =` `omega^2 r^2 - (vec omega . vec r)^2 =` `omega_i omega_j delta_(ij) r^2 - omega_i x_i omega_j x_j =` `omega_i omega_j (delta_(ij) r^2 - x_i x_j)`

Замествайки с този резултат в последния израз на формула (327.1) получаваме:

`E'_k =` `sum ( m_i (vec omega times vec(r_i))^2 )/2 =` `1/2 omega_i omega_j (sum m (delta_(ij) r^2 - x_i x_j)) =` `1/2 omega_i omega_j I_(ij)`

В тази формула участват инерчните моменти (331.2) на твърдото тяло.

 

Направено с MyCMS. Copyright CC BY-ND 4.0.