`vec{L} = vec{r_M} times M vec{v_M} + vec{L'}`
`(d vec{L})/(dt) = ` `sum_(i=1)^n vec{r_i} times vec(F_i^e)`
`(d vec{p})/(dt) = ` `sum_(i=1)^n vec{F_i^e}`

Механика на твърдо тяло

Страницата е създадена на:13 август 2019 и редактирана на: 9 септември 2019

В Движение на твърдо тяло, направихме уговорка, че твърдо тяло ще наричаме абсолютно твърдо тяло, което при произволно големи външни сили запазва неизменна своята форма. Също така, се убедихме, че движението на твърдо тяло се свежда до постъпателно движение на произволна точка от тялото и въртеливо движение около ос, минаваща през тази точка. Положението в пространството на твърдо тяло в произволен момент време е напълно определено с шест величини, например, координатите на двата вектора: радиус-векторът на произволна точка от тялото и векторът на ъгловата скорост. За намиране на тези 6 координати са необходими 6 уравнения. Толкова общо са уравненията, които изразяват закона за изменение на импулса (76.2) и закона за изменение на момента на импулса (155.3) на твърдото тяло. Следователно за пълното описание на движението на твърдо тяло са достатъчни тези два закона. Удобно е като точка от твърдото тяло, чието постъпателно движение да изследваме, да иберем центъра на масите на твърдото тяло. Тогава законът за изменение на импулса на твърдото тяло се свежда до закон за изменение на импулса на материална точка, с маса, равна масата на твърдото тяло, върху която действа векторна сума от външните сили, действащи върху твърдото тяло.

`(d vec p)/(dt) = sum_(i=1)^n vec{F_i^e}`

Законът за изменение на импулса на твърдото тяло пък се записва с уравнението:

`(d vec L)/(dt) = sum_(i=1)^n r_i times vec{F_i^e}`

За да намерим израз за момента на импулса на твърдото тяло да разделим тялото на система от голям брой малки чести, които може да се разглеждат като материални точки и да използваме формулата за момент на импулса на система от материални точки (157.1), според която моментът на импулса на твърдото тяло се състои от две части: момент на импулса на тялото като цяло, който е равен на момента на импулса на материална точка, съвпадаща с центъра на масата на твърдото тяло и маса, равна на масата на твърдото тяло `vec{r_M} times M vec{v_M}` и момент на импулса `vec{L'}` на твърдото тяло спрямо координатна система с начало в центъра на масите, движеща се постъпателно с центъра на масите на тялото. Спрямо тази координатна система тялото извършва въртеливо движение, което се описва с вектор на ъгловата скорост `vec omega`, така че моментът на импулса на произволна точка от тялото е `vec{r} times m (vec omega times vec{r} )`, а моментът на импулса `vec{L'}` на цялото тяло е:

(331.1)
`vec{L'} =` `sum vec{r} times m (vec omega times vec{r} )`

С цел опростяване, в тези формула сме пропуснали номерирането на материалните точки.

Да изразим координатите на векторното произведение, под знака на сумата:

`[r times (vec omega times vec{r})]_x = ` `y (vec omega times vec{r})_z - z (vec omega times vec{r})_y =` `y omega_x y - y omega_y x - z omega_z x + z omega_x z =` `omega_x ( y^2 + z^2) - omega_y x y - omega_z x z`

`[r times (vec omega times vec{r})]_y = ` `z (vec omega times vec{r})_x - x (vec omega times vec{r})_z =` `z omega_y z - z omega_z y - x omega_x y + x omega_y x =` ` - omega_x y x + omega_y(x^2 + z^2) - omega_z y z`

`[r times (vec omega times vec{r})]_z = ` `x (vec omega times vec{r})_y - y (vec omega times vec{r})_x =` `x omega_z x - x omega_x z - y omega_y z + y omega_z y =` ` - omega_x z x - omega_y z y + omega_z(x^2 + y^2)`

От написаните формули за координатите следва, че векторното произведение може да се представи като матрично произведение:

`r times (vec omega times vec{r}) = ` `((omega_x, omega_y, omega_z)) ((y^2 + z^2, - x y, - x z),(- y x, x^2 + z^2, - y z),(- z x, -z y, x^2 + y^2))`

При сумирането по формула (331.1), координатите на вектора на ъгловата скорост, която е една и съща за всички точки на твърдото тяло се изнасят пред сумата, а елементите на квадратната матрица се превръщат в суми по всички малки части, материални точки, от които се състои твърдото тяло:

`vec{L'} = ` `((omega_x, omega_y, omega_z))` `((sum m (y^2 + z^2), - sum m x y, - sum m x z), (- sum m y x, sum m (x_i^2 + z_i^2), - sum m y z), (- sum m z x, -sum m z y, sum m (x^2 + y^2)))`

Елементите на представената матрица, които ще означаваме с `I_(ij)`, се наричат инерчни моменти на твърдото тяло. Съвкупността от тези елементи, представлява симетричен тензор, който се нарича тензор на инерчния момент.

Стойностите на инерчните моменти са пропорционални на масата на тялото, но освен от общата маса те зависят от разпределението на тази маса в пространството и от координатната система, спрямо която се изчисляват. Инерчният момент, аналогично на масата е мярка за инертността на тялото, но само по отношение на въртеливото движение около определена ос.

Обща формула за пресмятане на инерчен момент може да се напише във вида:

(331.2)
`I_(ij) = sum m (delta_(ij) r^2 - x_i x_j)`

в която използваме символа на Кронекер `delta_(ij) = {(1, text(при ) i = j), (0, text(при ) i ne j):}` и вместо с `x`, `y` и `z` сме означили координатите с `x_1`, `x_2` и `x_3`.

Разпределението на масата на твърдото тяло в пространството може да се зададе със зависимостта на неговата плътност `rho` от радиус-вектора. Тогава сумирането по масите и координатите на точки от тялото, може да се замени с обемен интеграл:

`I_(ij) = int_V (delta_(ij) r^2 - x_i x_j) rho (vec{r}) dV`

И така, получихме, че моментът на импулса на въртеливото движение на твърдо тяло се представя като произведение от неговата ъглова скорост и тензора на инерчния му момент спрямо произволна точка от тялото, в частност - спрямо центъра на масите.

`L_i = omega_j I_(ji)`

Тъй като инерчният момент не зависи от времето, то производната по времето на момента на импулса на твърдото тяло е произведение от ъгловото ускорение и инерчния момент.

`(d L_i)/(dt) = I_(ji) (d omega_j)/(dt) = I_(ji) alpha_j`

 

Направено с MyCMS. Copyright CC BY-ND 4.0.