Уравнения на механиката на непрекъснатите среди

Страницата е създадена на:25 август 2019 и редактирана на:23 септември 2019

Да повторим на едно място, представените в предишните страници уравнения, описващи движението на непрекъснатите среди:

Уравнение за непрекъснатост:

(151.0)
`(d ρ)/(d t) + ρ `div` vec{v} = 0`

Уравнение на движение:

(153.0)
`ρ (d v_i)/(d t) = (partial P_(ij) )/(partial x_j) + ρ f_i `

Първи принцип на термодинамиката:

(335.0)
`rho (d e)/(dt) =` `v_(ji) P_(ij) - (del q_i)/(del x_i)`

Втори принцип на термодинамиката:

(335.0)
`rho T (d s)/(d t) =` `- (del q_i)/(del x_i) + D`

Това са общо шест частни диференциални уравнения, в които неизвестни са следните функции: `rho`, `e`, `T`, `s`, `D`, `v_(i)` и `P_(ij)` (общо 17 неизвестни). Системата от тези уравнения е непълна и за намиране на решения за неизвестните величини е необходимо да се привлекат още хипотези и уравнения за свойствата на непрекъснатата среда.

Ето някои от тези хипотези:

Идеален флуид

Това е непрекъсната среда, в която тензорът на напреженията има следния вид:

`P_(ij) = - p delta_(ij)`

където `p` е вътрешното налягане във флуида, което има една и съща стойност независимо от ориентацията на повърхността върху която действа.

При разглеждане на среда, в която няма топлообмен `q_i = 0`, няма дисипация на механична енергия `D = 0` и са известни термодинамичните калорично `e = e(rho, T)` и термично `p = p(rho, T)` уравнения на състоянието, се получава решима система от уравнения, която при зададени, начални и/или гранични условия, позволява установяване на движението на идеалния флуид.

Вискозен флуид

Непрекъсната среда, в която тензорът на напрежението има вида:

`P_(ij) =` `- p delta_(ij) + tau_(ij)`

където тензорът `tau_(ij) =` `eta ( (del v_i)/(del x_j) + ` `(del v_j)/(del x_i) -` `2/3 delta_(ij) (del v_k)/(del x_k) ) +` `zeta delta_(ij) (del v_k)/(del x_k)` описва силите на вътрешно триене и коефициентите `eta` и `zeta` се наричат съответно първи и втори коефициенти на вътрешно триене. В общия случай тези коефициенти може да зависят от пространствените координати. Работата на силите на вътрешно триене необратимо се превръща във вътрешна енергия с дисипативна функция `D = tau_(ij) (del v_i)/(del x_j)`. За решаване на задачата за определяне на движението на вискозен флуид системата от уравнения се допълва с калорично `e = e(rho, T)` и термично `p = p(rho, T)` уравнения, и с уравнението на топлопроводността `q_i = - kappa grad T`. Допълнително опростяване на уравненията може да се получи при: константна за цялата среда стойност на коефициентите на вътрешно триене (уравненията на движение в този случай са уравнения на Навие-Стокс) и константна стойност на плътността (несвиваема течност).

Идеално еластично тяло

Това е непрекъсната среда, в която тензорът на напреженията в даден момент време и в дадена точка зависи само от деформацията в същата точка и в същия момент време, и от температурата. Локалните термодинамични процеси в идеално еластично тяло са обратими.

Зависимостта на тензора на напрежението от тензора на деформацията се нарича закон на деформирането или закон на материала.

За практиката има значение разглеждането на случая на пропорционална зависимост на тензора на напреженията от тензора на деформацията и температурата:

(336.1)
`P_(ij) =` `C_(ijkl) epsilon_(kl) - alpha_(ij) (T - T_0)`

Написаната формула е обобщение на закона на Хук за анизотропни, а в частност и изотропни тела. `T_0` e температурата в дадена точка в начално, недеформирано състояние на средата. Коефициентите `C_(ijkl)` се наричат коефициенти на еластичност, а `alpha_(ij)` - коефициенти на термоеластичност. Коефициентите на еластичност са компоненти на тензор от четвърти ранг. (`3^4 = 81` компоненти) Поради наличието на условия за симетричност по отношения размяната на местата на индекси, в най-общия случай 21 от тези компоненти са независими.

При допълнителни хипотези относно симетричността на анизотропните свойствата на еластичното твърдо тяло броят на независимите коефициенти на еластичност е още по малък: 9 при монокристална структура с кубична решетка; 3 при кубичен кристал и 2 при изотропно тяло.

Пластични материали

Пластични са вещества, които след премахване на силите, които предизвикват в тях деформация не възстановяват напълно първоначалните си размери и форма.

Реология

Дял от механиката на непрекъснатите среди, в който се отчита изменението с течение на времето на деформациите при постоянни напрежения или изменението на напрежението с течение на времето при постоянна деформация.

 

Направено с MyCMS. Copyright CC BY-ND 4.0.