`a_i = sum_(i=1)^3 T_(ij) a'_j`
`a_i = sum_(i=1)^3 T_(ij) a'_j`
`vec{e'_x} = a_(11) vec{e_x} + a_(21) vec{e_y} + a_(31) vec{e_z}`
`vec{e'_y} = a_(12) vec{e_x} + a_(22) vec{e_y} + a_(32) vec{e_z}`
`vec{e'_z} = a_(13) vec{e_x} + a_(23) vec{e_y} + a_(33) vec{e_z}`

Трансформиране координатите на вектор при смяна на координатната система

Страницата е създадена на: 6 септември 2019 и редактирана на:24 септември 2019

Понякога е удобно на всяка от осите `Ox`, `Oy` и `Oz` на пространствената декартова координатна система да се съпоставят вектори `vec{e}_x`, `vec{e}_y` и `vec{e}_z`, с посоки положителните посоки на осите и големини равни на единица. Тези вектори наричаме единични вектори, базисни вектори или просто базис на координатната система.

Всеки вектор `vec{a}` се представя чрез базиса на координатната система и координатите си по формулата:

`vec{a} = a_1 vec{e}_x + a_2 vec{e}_y + a_3 vec{e}_z`

Лесно се показва, че координатите на вектора `a_i` спрямо базисните вектори са равни на големината на вектора `a`, умножена по косинусите на ъглите между вектора и съответния базисен вектор: `a_i = a cos(alpha_i)`. Косинусите `cos(alpha_i)` понякога се наричат посочни косинуси.

Ако в пространството се зададе друга декартова координатна система със същото начало, то базисните вектори `vec{e'_x}`, `vec{e'_y}` и `vec{e'_z}` на тази система може да се представят със своите координати в първата декартова координатна система по формулите:

(88.1)
`vec{e'_x} = a_(11) vec{e_x} + a_(21) vec{e_y} + a_(31) vec{e_z}`
`vec{e'_y} = a_(12) vec{e_x} + a_(22) vec{e_y} + a_(32) vec{e_z}`
`vec{e'_z} = a_(13) vec{e_x} + a_(23) vec{e_y} + a_(33) vec{e_z}`

Координатите на базисните вектори на новата координатна система спрямо старата координатна система, записани в стълбове, образуват квадратна матрица:

(88.2)
`T =` `((a_(11), a_(12), a_(13)), (a_(21), a_(22), a_(21)), (a_(31), a_(32), a_(33)))`

която наричаме матрица на прехода от първата към втората координатна система.

Да означим координатите на един и същи вектор, спрямо две декартови координатни системи с общо начало:

`vec{a} = a_1 vec{e}_x + a_2 vec{e}_y + a_3 vec{e}_z`

`vec{a} = a'_1 vec{e'_x} + a'_2 vec{e'_y} + a'_3 vec{e'_z}`

Да заместим базисните вектори на втората координатна система по формула (88.1)

`a_1 vec{e}_x + a_2 vec{e}_y + a_3 vec{e}_z =`
`a'_1 (a_(11) vec{e_x} + a_(21) vec{e_y} + a_(31) vec{e_z}) + ` `a'_2 (a_(12) vec{e_x} + a_(22) vec{e_y} + a_(32) vec{e_z}) + ` `a'_3 (a_(13) vec{e_x} + a_(23) vec{e_y} + a_(33) vec{e_z})`

Сега да приравним координатите пред базисните вектори на първата координатна система. Получаваме система от линейни уравнения:

`a_(11) a'_1 + a_(12) a'_2 + a_(13) a'_3 = a_1`
`a_(21) a'_1 + a_(22) a'_2 + a_(23) a'_3 = a_2`
`a_(31) a'_1 + a_(32) a'_2 + a_(33) a'_3 = a_3`

Тази система позволява да определим координатите на вектора спрямо втората координатна система. Същата система може да се запише в матрична форма:

`((a_(11), a_(12), a_(13)), (a_(21), a_(22), a_(23)), (a_(31), a_(32), a_(33)))` `((a'_1), (a'_2), (a'_3)) =` `((a_1), (a_2), (a_3))`

или в координатна форма:

(88.3)
`a_i = sum_(i=1)^3 T_(ij) a'_j`

Последната формула се записва и без знак за сумиране, във вида:

(88.4)
`a_i = T_(ij) a'_j`

като в този случай, поради това че индексът `j` се повтаря във всеки от множителите, се подразбира, че на този индекс следва да се задава всяка от възможните му стойности и произведенията за всяка стойност на този индекс да се сумират.

Както виждаме, за трансформиране на координатите на един вектор от една координатна система, към друга координатна система, трябва да знаем елементите `T_(ij)` на матрицата на прехода и да приложим формула (88.3).

Формулата за трансформиране на координатите на векторите при смяна на координатната система е най-същественото свойство на векторите. То позволява понятието вектор, което въведохме чрез геометрично понятие насочена отсечка да се обобщи по този начин:

Вектор наричаме всяка величина `vec a`, която в тримерно пространство има три компоненти `a_i` `i=1,2,3`, които при смяна на координатната система се преобразуват по формула (88.3).

Друго обобщение на понятието вектор се прави в Линейна алгебра, където векторите се разглеждат като елементи на Линейни пространства.

 

Направено с MyCMS. Copyright CC BY-ND 4.0.