`ε_(ij) = (1)/(2)((partial u_j)/(partial x_i) + (partial u_i)/(partial x_j))`

Друг начин за стигане до понятието тензор на деформацията

Страницата е създадена на:12 септември 2019 и редактирана на:14 септември 2019

Нека `dx_i = x_(Ai)(t)-x_(Oi)(t)` са координатите на вектора, съединяващ две безкрайно близки точки `O` и `A` от непрекъснатата среда в момент `t`. Тогава `dl = sqrt(dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2)` е разстоянието между точките в този момент. Нека в безкрайно близък следващ момент `t+dt` координатите и разстоянието между точките да са: `dx'_i = x_(Ai)(t+dt)-x_(Oi)(t+dt)` и `dl' = sqrt(dx'_1^2 + dx'_2^2 + dx'_3^2)`. Ако означим с `u_i(O,t)` и `u_i(A,t)` координатите на преместването на точките `O` и `A` за безкрайно малкия интервал време, да означим и изразим разликата в преместванията на тези точки: `du_i = u_i(A,t) - u_i(O,t) =` `(del u_i)/(del x_j) dx_j`. При тези означения намираме, че:

`dx'_i = x_(Ai)(t+dt) - x_(Oi)(t+dt) =` `x_(Ai)(t) + u_i(A,t) - x_(Oi)(t) + u_i(O,t) =` `dx_i + du_i`

За разстоянието между точките може да напишем:

`dl^2 = dx_i^2`   и   `dl'^( 2) = (dx_i+du_i)^2`

В последните формули сумирането по възможните стойности на индексите се подразбира поради повтарянето им при повдигането на квадрат. Ако разпишем квадрата във втората формула получаваме:

`dl'^( 2) = dx_i^2 + 2dx_i du_i + du_i^2 =` `dl^2 + 2(del u_i)/(del x_j) dx_i dx_j + (del u_i)/(del x_k)(del u_i)/(del x_j) dx_k dx_j`

Въвеждайки означение:

(350.1)
`epsilon_(ij) = ` `1/2( (del u_i)/(del x_j) + (del u_j)/(del x_i) + ` `2 (del u_k)/(del x_i)(del u_k)/(del x_j) )`

получаваме:

`dl'^( 2) = ` `dl^2 + 2 epsilon_(ij) dx_i dx_j`

Тензорът `epsilon_(ij)` е тензорът на деформацията. Формула (350.1) съвпада с формула (112.2) при пренебрегване на членовете от втори порядък, което е оправдано при малки стойности на преместванията и техните производни.

 

Направено с MyCMS. Copyright CC BY-ND 4.0.