Главни оси и компоненти на тензор от втори ранг

Страницата е създадена на:13 септември 2019 и редактирана на:23 септември 2019

При умножаване на тензор с вектор за практиката представлява интерес въпросът дали съществуват вектори, които не променят посоката си при умножението с дадения тензор. Ако има такива вектори то техните посоки се наричат главни оси на тензора, а самите вектори собствени вектори на тензора.

Намирането на вектори с координати `x_i`, които при умножаване с тензор с компоненти `P_(ij)`, дават в резултат колинеарни вектори с координати `lambda x_i` се свежда до решаване по отношение на неизвестните координати `x_i` на система линейни уравнения:

(352.1)
`P_(ij) x_j = lambda x_i`

Която може да се преобразува във вида:

`(P_(ij) - lambda delta_(ij)) x_j = 0`

или в подробен вид:

`|{:((P_(11) - lambda) x_1, +, P_(12) x_2, +, P_(13) x_3, = 0), (P_(21) x_1, +, (P_(22) - lambda) x_2, +, P_(23) x_3, = 0), (P_(31) x_1, +, P_(32) x_2, +, (P_(33) - lambda) x_3, = 0):}`

За да има нетривиално решение, тази хомогенна система линейни уравнения трябва да има равна на нула детерминанта. Приравняването на нула на детерминантата води до получаване на алгебрично уравнение от трета степен, по отношение на параметъра `lambda`. Което има следния явен вид:

(352.2)
`lambda^3 - I_2 lambda^2 - I_1 lambda - I_0 = 0`

Това уравнение се нарича характеристично уравнение или секулярно уравнение на тензора, а неговите решения - собствени стойности на тензора.

В общия случай решенията на характеристичното уравнение са комплексни числа, но физически смисъл имат само решенията в реални числа, така че, когато решенията не са реални числа тензорът няма главни оси. Когато имаме комплексна собствена стойност, то и координатите на собствените вектори са комплексни числа и тогава и реалното тримерно пространство се превръща в комплексно евклидово тримерно пространство. Ако умножим с `bar x_i` и сумираме в двете страни на уравнения (352.1), получаваме:

`P_(ij) x_j bar x_i = lambda x_i bar x_i`

Да съставим израза: `P_(ij) x_j bar x_i - bar(P_(ji) x_i bar x_j) = ` `P_(ij) x_j bar x_i - P_(ji) bar x_i x_j = ` `(P_(ij) - P_(ji)) bar x_i x_j`. Ако тензорът е симетричен, този израз е нула, от което следва, че `P_(ij) x_j bar x_i` е реално число. Сумата в дясно `x_i bar x_i = x.x` е скаларния квадрат на вектора `x`, който по определение е реално число. Следователно и собствената стойност `lambda` е реално число. Така доказваме, че: собствените стойности на симетричен тензор винаги са реални числа.

Нека `lambda' ne lambda''` са различни собствени стойности на симетричен тензор и `x_i'`, и `x_j''` - координатите на собствени вектори, съответстващи на тези собствени стойности. В сила са уравненията:

`P_(ij) x_j' = lambda' x_i'`

`P_(ij) x_j'' = lambda'' x_i''`

Да умножим и сумираме първата група уравнения с `x_i''`, а втората - с `x_i'` и образуваме разликата:

(352.3)
`P_(ij) x_j' x_i'' - P_(ij) x_j'' x_i' = ( lambda' - lambda'' ) x_i' x_i''`

Поради това, че тензорът е симетричен, лявата част на полученото уравнение е нула, в което се убеждаваме със смяна на означенията на индексите:

`P_(ij) x_j' x_i'' - P_(ij) x_j'' x_i' =` `P_(ij) x_j' x_i'' - P_(ji) x_i'' x_j' =` `(P_(ij) - P_(ji)) x_i'' x_j' = 0`

Следователно, уравнение (352.3) е изпълнено ако скаларното произведение на собствените вектори - сумата: `x_i' x_i''` е нула, което означава, че собствените вектори на симетричен тензор, съответстващи на различни собствени стойности са перпендикулярни.

Възможни са следните случаи:

Трите корена на характеристичното уравнение са различни: `lambda_1 ne lambda_2 ne lambda_3`. Тензорът има три, две по две перпендикулярни главни оси.

Два от корените са еднакви, а третият различен: `lambda_1 = lambda_2 ne lambda_3`. Тензорът има една главна ос, съответстваща на различния корен и безкрайно много главни оси перпендикулярни на нея.

И трите корена са равни. Тензорът се нарича сферичен тензор. Всяка ос в пространството е главна ос на такъв тензор.

Ако за оси на координатна система изберем три, взаимно перпендикулярни, собствени оси на тензор, то в тази координатна система, компонентите на тензора образуват матрица:

`((lambda_1,0,0),(0,lambda_2,0),(0,0,lambda_3))`

Ето защо собствените стойности на тензор се наричат още главни компоненти на тензора.

 

Направено с MyCMS. Copyright CC BY-ND 4.0.