Евклидови пространства

Страницата е създадена на:17 септември 2019 и редактирана на:19 септември 2019

Евклидово пространство се нарича линейно пространство, в което за всеки два елемента `x` и `y` е дефинирано скаларно произведение - реално число, което ще означаваме със знака за скаларно умножение `x.y`, и което по определение има следните свойства, за всички произволно избрани елементи, означени с `x`, `y` и `z` и всяко реално число `alpha`:

`x.x = 0` само за `x=0` и
`x.x>0` за всяко `x ne 0`

`x.y = y.x`

`(x+y).z = x.z + y.z`

`(alpha x).y = alpha (x.y)`

Нека веднага да посочим, че като следствие са в сила и следните равенства:

`x.(y+z) = x.y + x.z`

`x.(alpha y) = alpha (x.y)`

Доказателства:

`x.(y+z) =` `(y+z).x =` `y.x + z.x =` `x.y + x.z`

`x.(alpha y) =` `(alpha y).x =` `alpha (y.x) =` `alpha (x.y)`

Ако съставим следния израз: `(alpha x - y).(alpha x - y)`, който по определение е неотрицателен, използвайки свойствата на скаларното произведение, получаваме неравенството:

`alpha^2 (x.x) - 2 alpha (x.y) + (y.y) >= 0`

Това неравенство е изпълнено за произволни стойности на `alpha` ако неговата дискриминанта не е положителна, от което се получава неравенството:

`(x.y) <= (x.x)(y.y)`

Известно като неравенство на Коши-Буняковски.

Комплексно евклидово пространство се нарича линейно пространство, в което е дефинирано скаларно произведение на два елемента, представляващо комплексно число, със свойство:

`x.y = bar(y.x)`

и всички останали свойства като на евклидово пространство.

В комплексно евклидово пространство понеже е в сила равенство `(alpha x).y = alpha (x.y)` то:

`x.(alpha y) =` `bar((alpha y).x) =` `bar(alpha (y.x)) =` `bar alpha bar((y.x)) =` `bar alpha (x.y)`

(354.1)
`x.(alpha y) = bar alpha (x.y)`

 

Направено с MyCMS. Copyright CC BY-ND 4.0.