`x.(alpha y) = bar alpha (x.y)`

Ортонормирани базиси

Страницата е създадена на:19 септември 2019 и редактирана на:19 септември 2019

Базисът `e_1`, `e_2`, ..., `e_n` в `n`-мерно евклидово пространство е ортонормиран, ако всеки базисен елемент е с големина единица и е перпендикулярен на останалите елементи от базиса. Тези обстоятелства може да се запишат с формулата:

`e_i . e_j` = `delta_(ij)`

където `delta_(ij)` е делта-символът на Кронекер.

Предимството на ортонормираните базиси е, че в тях редица формули значително се опростяват, но първо да покажем, че ортонормирани базиси съществуват.

Нека `b_1`, `b_2`, ..., `b_n` е произволен (не задължително ортонормиран) базис. От елементите на този базис може да се получи ортонормиран базис. Да заменим елемент `b_1` от този базис с `е_1 = b_1/sqrt(b_1.b_1)`, който елемент изпълнява условието `e_1.e_1 = 1.` Елементите `е_1`, `b_2`, ..., `b_n` също образуват базис. За елемент `c_2 = b_2 - (b_1.e_1) e_1` се убеждаваме, че е ортогонален на `е_1`: `[b_2 - (b_2.e_1)e_1].e_1` = ` b_2.e_1 - (b_2.e_1)(e_1.e_1) =` `b_2.e_1 - b_2.e_1 = 0`, елемент: `е_2 = 1/sqrt(c_2.c_2)` има големина единица. За следващ елемент: `c_3 = b_3 - (b_3.e_2)e_2 - (b_3.e_1)e_1` лесно се проверява, че е ортогонален както на `e_1`, така и на `e_2`. После елементът `e_3 = 1/sqrt(c_2.c_2)` има големина единица и т.н. Чрез последователна замяна, от неортонормираният базис `b_1`, `b_2`, ..., `b_n` се получава ортонормиран базис `e_1`, `e_2`, ..., `e_n`. Процесът се нарича ортогонализация и се изпълнява по формулите:

`е_1 = b_1/sqrt(b_1.b_1)`

`c_2 = b_2 - (b_1.e_1) e_1`   `е_2 = c_2/sqrt(c_2.c_2)`

`c_3 = b_3 - (b_3.e_2)e_2 - (b_3.e_1)e_1`   `е_3 = c_3/sqrt(c_3.c_3)`

...

`c_n = b_n - (b_(n-1).e_(n-1))e_n + ... - (b_(n-1).e_1)e_1`   `е_n = c_n/sqrt(c_n.c_n)`

Ако елемент `x`, се представя в ортонормиран базис по формулата:

`x = ` `x_1 e_1 + x_2 e_2 + ... + x_n e_n`

и го умножим скаларно с `e_i` получаваме, че координатите на `x` са: `x_i = x.e_i`. Така разложението на елемнта в ортонормиран базис има вида:

`x = ` `(x.e_1)e_1 + (x.e_1)e_1 + ... + (x.e_1)e_1`

Нека да посочим, че ако базисът не е ортонормиран и повторим същите действия, за да намерим координатите на даден елемент ще трябва да решим система линейни уравнения във вида:

`|{:((e_1.e_1)x_1 + (e_1.e_2)x_2 + ... + (e_1.e_n)x_n = x.e_1), ((e_2.e_1)x_1 + (e_2.e_2)x_2 + ... + (e_2.e_n)x_n = x.e_2), (...), ((e_n.e_1)x_1 + (e_n.e_2)x_2 + ... + (e_n.e_n)x_n = x.e_n):}`

Ако са известни координатите на два елемента `x` и `y` спрямо ортонормиран базис, имаме:

`x = ` `x_1 e_1 + x_2 e_2 + ... + x_n e_n =` `x_i e_i`

`y = ` `y_1 e_1 + y_2 e_2 + ... + y_n e_n =` `y_i e_i`

Ако съставим скаларното произведение `x.y` от въведеното с дефиницията свойство на ортонормирания базис, получаваме:

`x.y = ` `(x_i e_i).(y_j e_j) =` `x_i y_j (e_i.e_j) =` `x_i y_j delta_(ij)` = `x_i y_i`

Формулата за пресмятане на скаларно произведение на елементи по техните координати спрямо ортонормиран базис се свежда до пресмятане на сумата `x_i y_i =` `x_1 y_1 +` `x_2 y_2 + ... +` `x_n y_n`.

В комплексно евклидово пространство поради формула (354.1), скаларното произведение се изразява чрез координатите по формулата:

(356.1)
`x.y = x_i bar y_i =` `x_1 bar y_1 +` `x_2 bar y_2 + ... +` `x_n bar y_n`

 

Направено с MyCMS. Copyright CC BY-ND 4.0.