Големина на скоростта, изразяване на пътя и координатите чрез скоростта

Страницата е създадена на:24 октомври 2016 и редактирана на: 8 април 2019

За да изразим големината на скоростта използваме, че за малки интервали време пътят Δ s е равен на големината на преместването Δ r и пишем:

v = v = lim Δ t 0 Δ r Δ t = lim Δ t 0 Δ r Δ t = lim Δ t 0 Δ s Δ t .

Ако разглеждаме пътя s , изминат от материалната точка от началния момент време t = 0 до момента t като функция на времето s = s ( t ) , последната граница съвпада с определението за производна на s ( t ) . Така получаваме, че големината на скоростта е равна на производната на пътя по времето:

v = ds dt s ′( t ) s . ( t ) .

(Във физиката е прието, понякога производната да се означава с точка над символа на величината. Със символа изразяваме равнозначност на различните означения.)

Ако познаваме зависимостта на големината на скоростта от времето v ( t ) , чрез интегриране може да намерим зависимостта на пътя от времето s ( t ) . Наистина, последната формула v = ds dt можем да представим във вида:

ds = v ( t )   dt .

За да подчертаем, че скоростта е функция на времето вместо само v пишем v ( t ) . Сега интегрираме:

0 s ( t ) ds = 0 t v ( t )   dt .

Интегралът в лявата страна е равен на: s ( t ) , следователно:

s ( t ) = 0 t v ( t )   dt .

Ако познаваме зависимостта на всяка от координатите ( v x , v y , v z ) на скоростта от времето, чрез интегриране може да намерим изменението на координатите ( x , y , z ) на материалната точка за времето между два момента t 1 и t 2 . Например за координатата x имаме: v x = dx dt или dx = v x ( t )   dt и като интегрираме x 1 x 2 dx = t 1 t 2 v x ( t )   dt , левият интеграл дава изменението на координатата x : x 2 x 1 = Δ x , следователно:

Δ x = t 1 t 2 v x ( t )   dt .

Аналогично се получават и измененията на другите две координати:

Δ y = t 1 t 2 v y ( t )   dt       и     Δ z = t 1 t 2 v z ( t )   dt .

Измененията на трите координата на материалната точка се явяват координати на вектора на преместването Δ r , така че получените три формули може да се запишат като една векторна формула:

Δ r = t 1 t 2 v ( t )   dt .

Ако разглеждаме преместването от начално положение r 0 = r ( 0 ) в момента t = 0 , до положението r = r ( t ) в момента t , последната формула позволява да се определи закона за движението:

r ( t ) = r 0 + 0 t v ( t ) dt .

 

Направено с MyCMS. Copyright CC BY-ND 4.0.