Големина на скоростта, изразяване на пътя и координатите чрез скоростта

Страницата е създадена на:24 октомври 2016 и редактирана на:25 октомври 2016

За да изразим големината на скоростта използваме, че за малки интервали време пътят Δ s  е равен на големината на преместването Δ r и пишем:

v = v = lim Δ t 0 Δ r Δ t = lim Δ t 0 Δ r Δ t = lim Δ t 0 Δ s Δ t .

Ако разглеждаме пътя s , изминат от материалната точка от началния момент време t = 0  до момента t  като функция на времето s = s ( t ) , последната граница съвпада с определението за производна на s ( t ) . Така получаваме, че големината на скоростта е равна на производната на пътя по времето:

v = ds dt s ′( t ) s . ( t ) .

(Във физиката е прието, понякога производната да се означава с точка над символа на величината. Със символа  изразяваме равнозначност на различните означения.)

Ако познаваме зависимостта на големината на скоростта от времето v ( t ) , чрез интегриране може да намерим зависимостта на пътя от времето s ( t ) . Наистина, последната формула v = ds dt  можем да представим във вида:

ds = v ( t )   dt .

За да подчертаем, че скоростта е функция на времето вместо само v  пишем v ( t ) . Сега интегрираме:

0 s ( t ) ds = 0 t v ( t )   dt .

Интегралът в лявата страна е равен на: s ( t ) , следователно:

s ( t ) = 0 t v ( t )   dt .

Ако познаваме зависимостта на всяка от координатите ( v x , v y , v z )  на скоростта от времето, чрез интегриране може да намерим изменението на координатите ( x , y , z )  на материалната точка за времето между два момента t 1  и t 2 . Например за координатата x  имаме: v x = dx dt  или dx = v x ( t )   dt  и като интегрираме x 1 x 2 dx = t 1 t 2 v x ( t )   dt , левият интеграл дава изменението на координатата x : x 2 x 1 = Δ x , следователно:

Δ x = t 1 t 2 v x ( t )   dt .

Аналогично се получават и измененията на другите две координати:

Δ y = t 1 t 2 v y ( t )   dt       и     Δ z = t 1 t 2 v z ( t )   dt .

Измененията на трите координата на материалната точка се явяват координати на вектора на преместването Δ r , така че получените три формули може да се запишат като една векторна формула:

Δ r = t 1 t 2 v ( t )   dt .

Ако разглеждаме преместването от начално положение r 0 = r ( 0 )  в момента t = 0 , до положението r = r ( t )  в момента t , последната формула позволява да се определи закона за движението:

r ( t ) = r 0 + t 1 t 2 v ( t )   dt .

 

Направено с MyCMS. Copyright CC BY-ND 4.0.