a ( t ) = v ( t ) = dv(t) dt = x ( t ) = d 2 x(t) dt 2

Равномерно променливо (равнопроменливо) движение

Страницата е създадена на:26 октомври 2016 и редактирана на: 3 ноември 2016

Праволинейното движение с постоянно ускорение се нарича равномерно променливо движение или равнопроменливо движение. Следователно, за равномерно променливо движение можем да напишем:

a = const .

Като се знае, че ускорението е първа производна на скоростта (вижте формула (62.2)) се получава обикновено диференциално уравнение:

dv dt = a .

След решаването на това уравнение (аналогично на извода на закона за движението при равномерно праволинейно движение) получаваме закона за скоростта:

(64.1)
v = v 0 + at  .

в който `v_0` е скоростта на материалната точка в началния момент време `t = 0`.

Когато големината на скоростта на материална точка намалява с времето, движението се нарича закъснително движение, а когато се увеличава - ускорително движение. Дясната страна на формула (64.1) нараства по абсолютна стойност, ако `v_0` и `a` имат еднакви знаци, от което следва, че движението е закъснително, когато ускорението има противоположна на началната скорост посока и ускорително - когато посоката (знакът) на ускорението съвпада с посоката (знака) на началната скорост.

Скоростта е първа производна на координатата, затова от (64.1) може да напишем ново обикновено диференциално уравнение:

dx dt = v 0 + at ,

което решаваме за да получим закона за движението. Първо умножаваме двете страни с dt . Получаваме:

dx = ( v 0 + at ) dt .

След това интегрираме в граници, определени от моментите време t = 0  и t :

x 0 x dx = 0 t ( v 0 + at ) dt .

Решението на тези интеграли е:

x 0 x dx = x x 0    и    0 t ( v 0 + at ) dt = 0 t v 0 dt + 0 t atdt = v 0 t + a t 2 2 .

След като заместим интегралите с техните решения и прехвърлим x 0  в дясната страна получаваме и закона за движението при равнопроменливо движение:

x = x 0 + v 0 t + 1 2 a t 2 .

Тук x  е координатата на материалната точка в произволен момент време t , x 0  - координатата в началния момент време t = 0 , v 0  - скоростта в началния момент и a  - постоянното по стойност ускорение.

Ще докажем, че при равномерно променливо движение средната скорост за интервала време `Δt = t_2 - t_1` е равна на средната стойност от скоростите `v_1` и `v_2` на материалната точка в моментите време `t_1` и `t_2`:

`v_(ср) = (v_1 + v_2)/2`

Да напишем изведените закони за скоростта и за движението първо за момента `t_1`, а после за момента `t_2`:

`v_1 = v_0 + a t_1`

`v_2 = v_0 + a t_2`

`x_1 = x_0 + v_0 t_1 + 1/2 a t_1^2`

`x_2 = x_0 + v_0 t_2 + 1/2 a t_2^2`

От първите две равенства изразяваме времената `t_1` и `t_2`:

(64.2)
`t_1 = (v_1 - v_0)/a`     `t_2 = (v_2 - v_0)/a`

а от вторите две равенства изразяваме преместването:

`Δx = x_2 - x_1 = v_0(t_2 - t_1) + 1/2 a (t_2^2 - t_1^2) = v_0(t_2 - t_1) + 1/2 a (t_2 - t_1)(t_1 + t_2)`

и средната скорост:

`v_(ср) = (Δx)/(Δt) = v_0 + 1/2 a (t_1 + t_2)`

След заместване на `t_1` и `t_2` от (64.2):

`v_(ср) = v_0 + 1/2 (v_1 + v_2 - 2 v_0) = (v_1 + v_2)/2`

 

Направено с MyCMS. Copyright CC BY-ND 4.0.