Движение по окръжност

Страницата е създадена на:27 октомври 2016 и редактирана на:26 юли 2019

Когато траекторията на материална точка е крива линия, движението се нарича криволинейно движение. Когато траекторията е окръжност, движението се нарича движение по окръжност.

При движение по окръжност положението на материалната точка в даден момент време `t` може да се определя еднозначно и чрез ъгъла `phi`, наричан полярен ъгъл. Това е ъгълът между радиус-вектора `vec r` на материалната точка в момент `t` и оста `Ox`. Измерва се в радиани (`rad`). При представяне на положението на материалната точка чрез полярния ъгъл законът за движението се представя чрез зависимостта на полярния ъгъл от времето:

  ϕ = ϕ ( t )

Нека в последователните моменти време t 1 и t 2 ϕ да има съответно стойности ϕ 1 и ϕ 2 . Следователно, изменението му е: Δ ϕ = ϕ 2 ϕ 1 . Нека пътят, изминат от материалната точка за времето от t 1 до t 2 да е Δ s .

Връзката между пътя `Delta s` и изменението на полярния ъгъл `Delta phi` е:

(65.1)
Δ ϕ = Δ s r или `Delta s = Delta phi r`

където r е радиусът на окръжността, представляваща траектория на материалната точка.

Величината:

(65.2)
ω с р . = Δ ϕ Δ t

се нарича средна ъглова скорост на материалната точка, за интервала време Δ t

Първата производна на полярния ъгъл по времето:

(65.3)
ω = ϕ ( t ) .

се нарича моментна ъглова скорост.

Ъгловата скорост се измерва в единици [ ω ] = rad s = s 1 .

Ако резделим двете страни на равенство (65.1) на интервала време `Delta t` получаваме врезка между средната скорост и средната ъглова скорост:

(65.4)
`v_(ср.) = omega_(ср.) r`   или   `v = omega r`

Зависимостта на моментната ъглова скорост от времето: ω = ω ( t ) се нарича закон за скоростта при движението по окръжност.

Ако в момент време t 1 ъгловата скорост е ω 1 , а в момент време t 2 - ω 2 , изменението й за интервала време Δ t е: Δ ω = ω 2 ω 1 . Величината:

α с р . = Δ ω Δ t

се нарича средно ъглово ускорение на материалната точка, а първата производна на ъгловата скорост по времето:

`α = ω'(t)`

се нарича моментно ъглово ускорение.

Равномерно движение на материална точка по окръжност

Движението на материална точка по окръжност се нарича равномерно движение по окръжност, ако ъгловата скорост на материалната точка е постоянна величина ω ( t ) = ω 0 = const . Очевидно ъгловото ускорение в този случай е нула.

От (65.3) се получава обикновено диференциално уравнение: d ϕ dt = ω 0 , след решаване на което (аналогично на извода на закона за движението при равномерно праволинейно движение) се получава закона за движението при равномерното движение по окръжност:

(65.5)
ϕ ( t ) = ϕ 0 + ω 0 t ,

където ϕ 0 е началният полярен ъгъл на материалната точка в момента t = 0 .

При равномерно движение по окръжност времето, за което материалната точка извършва всяка нова обиколка по окръжността, е едно и също. Очевидно след завършване на една обиколка и започване на нова движението се повтаря.

Такива движения, които след определен интервал от време се повтарят многократно се наричат периодични движения. Равномерното движение по окръжност е пример за периодично движение. Най-малкото време след, което едно периодично движение започва да се повтаря се нарича период. Периодът ще означаваме с T . Очевидно периода на равномерното движение по окръжност е равно на времето, за което материалната точка завършва една пълна обиколка по окръжността. За една обиколка материалната точка описва ъгъл Δ ϕ = 2 π и от (65.5) получаваме:

(65.6)
ω = 2 π T  или T = 2 π ω .

Последните две равенства дават връзката между периода T и ъгловата скорост ω при равномерното движение на материална точка по окръжност.

Броят на повторенията на едно периодично движение за единица време се нарича честота и се означава с ν . При равномерно движение по окръжност честотата е равна на броя на обиколките, които извършва материалната точка за единица време. Тъй като продължителността на една обиколка е T , броят на обиколките, извършени за единица време е 1 T , следователно връзката между период и честота е:

(65.7)
ν = 1 T  или T = 1 ν .

Като сравним (65.6) и (65.7) получаваме следната връзка между честотата и ъгловата скорост:

ω = 2 π ν   или   ν = ω 2 π .

При разглеждане на произволно периодично движение е удобно да се използва величина със същото означение, както ъгловата скорост ω при равномерното движение по окръжност, свързана с честотата ν по същата формула: ω = 2 π ν . Тази величина се нарича кръгова честота на периодичното движение.

 

Направено с MyCMS. Copyright CC BY-ND 4.0.