F = d p dt = p .
Δ p = Δ t . F 1 + F 2 + ... + F n  ,

Закон за изменение на импулса на механична система

Страницата е създадена на:28 октомври 2016 и редактирана на: 9 септември 2019

Първоначално в този курс беше представян опростен извод на закона за изменение на импулса за система от две тела, но с цел прецизиране и подобряване по-надолу сега представяме и по-общ извод.

За система от две тела

Да разгледаме механична система, състояща се от две тела A и B. Нека върху тялото А да действа външна сила F A  и вътрешна сила F A B , а върху тялото B - външна сила F B  и вътрешна сила F B A . Вътрешните сили F A B  и F B A , са сили, с които телата A и B действат едно на друго и съгласно третия принцип на динамиката:

F A B = - F B A   или   F A B + F B A = 0 .

Изменението на импулса на всяко от телата е равно на импулса на сумата от силите, които му действат (виж формула (73.4) във въпроса за импулс на тяло и импулс на сила):

Δ p 1 = Δ t   ( F A + F AB )  и Δ p 2 = Δ t   ( F B + F BA )

Тогава изменението на импулса на системата е:

Δ p = Δ p 1 + Δ p 2 = Δ t   ( F A + F AB ) + Δ t   ( F B + F BA ) = Δ t   ( F A + F AB + F B + F BA ) = Δ t   ( F A + F B )

т.е.:

(76.1)
Δ p = Δ t   ( F A + F B )

В последното равенство участват само външните сили, което означава, че изменението на импулса на една механична система се предизвиква само от действието на външните сили (равно е на импулса на сумата от външните сили). Наличието или отсъствието на вътрешни сили, както и тяхната големина, не оказва влияние върху импулса на цялата система.

За система от произволен брой материални точки

За произволна система от материални точки да означим импулсите на отделните точки с: `vec{p_1}`, `vec{p_2}`, ..., `vec{p_n}`. Както видяхме (формула (74.1), вторият принцип на механиката, при използване на понятието импулс на материална точка, за всяка от точките на системата, се записва във вида:

`(d vec{p_i})/(dt) = vec{F_i}`   `i = 1, 2, ..., n`

В тези уравнения силата `vec{F_i}` е сума от всички сили, действащи на материална точка `i`. Може да представим тази сума като сума от векторната сума на външните сили, `vec{F_i^e}` и сума от вътрешните сили `vec{F_(ij)}`, с които всяка от останалите точки дайстват на точка `i`: `sum_(i != j)^n vec{F_(ij)}`:

`(d vec{p_i})/(dt) = ` `vec{F_i^e} + sum_(i != j)^n vec{F_(ij)}`   `i = 1, 2, ..., n`

За да съставим уравнение за изменението на импулса ня цалата система събираме написаните за отделните точки уравнение:

`(d vec{p})/(dt) = ` `sum_(i=1)^n (d vec{p_i})/(dt) = ` `sum_(i=1)^n vec{F_i^e} + sum_(i=1)^n sum_(i != j)^n vec{F_(ij)}`

Поради третият принцип на динамиката `vec{F_(ij)} + vec{F_(ji)} = 0` и след пренареждане на събираемите в двойната сума виждаме, че тя е нула:

`sum_(i=1)^n sum_(i != j)^n vec{F_(ij)} = ` `sum_(i=1)^n sum_(i = 1)^(i-1) ( vec{F_(ij)} + vec{F_(ji)} ) = 0`

Така стигаме до общия вид на закона за изменение на импулса на механична система:

(76.2)
`(d vec{p})/(dt) = ` `sum_(i=1)^n vec{F_i^e}`

 

Направено с MyCMS. Copyright CC BY-ND 4.0.