Връзка между кинетична енергия и работа на постоянна сила

Страницата е създадена на:29 октомври 2016 и редактирана на:26 януари 2018

Да разгледаме движението на материална точка с маса m  под действие на постоянна сила F , извършено за кратък интервал време Δ t . От втория принцип на динамиката следва:

(82.1)
F = m a

Понеже разглеждаме случай, в който силата е постоянна, следва, че и ускорението е постоянно, и равно на средното ускорение. Затова можем да напишем, че:

(82.2)
a = Δ v Δ t

Да умножим скаларно двете страни на уравнение (82.1) с вектора на преместването Δ r , което материалната точка извършва за малкия интервал време Δ t :

(82.3)
F . Δ r = m a . Δ r

Лявата страна на полученото уравнение представлява елементарната работа Δ A , а дясната страна преобразуваме, като използваме (82.2):

m a . Δ r = m Δ v Δ t . Δ r = m Δ v . Δ r Δ t .

Продължаваме преобразуването като използваме, че: Δ v = v 2 v 1 , а Δ r Δ t  е средната скорост за интервала Δ t . Поради това че ускорението е постоянно средната скорост е равна на средно аритметичната стойност от началната и крайната скорост, следователно: Δ r Δ t = v 2 + v 1 2 и получаваме:

m Δ v . Δ r Δ t = m ( v 2 v 1 ) . ( v 2 + v 1 ) 2 = m ( v 2 2 v 1 2 ) 2 = m v 2 2 2 m v 1 2 2

Така получаваме, че работата на постоянната сила F  е:

(82.4)
Δ A = m v 2 2 2 m v 1 2 2 = Ek2 - Ek1 = Δ E k

където E k 1 = m v 1 2 2  и E k 2 = m v 2 2 2  представляват стойностите на кинетичната енергия на тялото, съответно, в началото и в края на разглеждания интервал време.

Така виждаме, че изменението на кинетичната енергия Δ E k  е равно на работата Δ A  на силата, действаща върху тялото.

Δ A = Δ E k .

Изводът на тази връзка извършихме за случай на постоянна сила, но изследванията показват, че същата връзка се доказва и за произволна сила и произволен интервал време, както и за сумата от всички сили, действащи на тялото. Следователно:

Изменението на кинетичната енергия на едно тяло е равно на работата на всички сили, действащи върху него.

 

Направено с MyCMS. Copyright CC BY-ND 4.0.