Полярни координати

Страницата е създадена на: 2 ноември 2016 и редактирана на:10 февруари 2018

Освен чрез декартови координати положението на една точка в равнината може да се определи еднозначно и с други величини, които общо наричаме криволинейни координати на точката. (Наричат се така, защото множествата от точки, които се различават по стойността само на една от тези величини, представляват в общия случай криви линии).

Един от възможните видове криволинейни координати са полярните координати. Полярни координати са: разстоянието от дадена точка до началото на координатната система ρ  и ъгълът ϕ , отчитан в посока обратна на часовниковата стрелка, между положителната посока на абсцисната ос и радиус вектора на точката.

Множествата от точки с еднакви поляни ъгли `ϕ` и различни стойности на `ρ` представляват лъчи, излизащи от началото на координатната система, а множествата от точки с еднакви стойности на `ρ` и различни ъгли `ϕ` са концентрични окръжности с центрове в началото на координатната система.

Ако са известни полярните координати ρ  и ϕ  на една точка в равнината, нейните декартови координати са:

x = ρ   cos   ϕ     и     y = ρ   sin   ϕ .

Ако от една страна повдигнем на квадрат и съберем тези равенства, а от друга - разделим второто на първото, получаваме:

x 2 + y 2 = ρ 2 cos 2 ϕ   + ρ 2 sin 2 ϕ = ρ 2 ( cos 2 ϕ   + sin 2 ϕ ) = ρ 2     и     y x = sin   ϕ cos   ϕ = tg   ϕ .

От тези две равенства следоват формулите, по които бихме могли да намерим полярните координати ρ  и ϕ , когато са известни декартовите координати x  и y :

ρ = x 2 + y 2     и     ϕ = arctg   y x .

Полученият по втората формула ъгъл ϕ  има правилна стойност само когато точката е в първи квадрант ( x > 0  и y > 0 ). Ако точката е във втори ( x < 0  и y > 0 ) или трети ( x < 0  и y < 0 ) квадрант, към получената стойност трябва да се прибави π , а ако е в четвърти квадрант ( x > 0  и y < 0 ) към получената стойност трябва да се прибави 2 π .

Някои от обичайните приложения на полярните координати е при изучаване на движението по окръжност, за представяне на комплексни числа и др.

 

Направено с MyCMS. Copyright CC BY-ND 4.0.