`a_i = T_(ij) a'_j`
`T =` `((a_(11), a_(12), a_(13)), (a_(21), a_(22), a_(21)), (a_(31), a_(32), a_(33)))`
`vec{e'_x} = a_(11) vec{e_x} + a_(21) vec{e_y} + a_(31) vec{e_z}`
`vec{e'_y} = a_(12) vec{e_x} + a_(22) vec{e_y} + a_(32) vec{e_z}`
`vec{e'_z} = a_(13) vec{e_x} + a_(23) vec{e_y} + a_(33) vec{e_z}`

Действия с вектори

Страницата е създадена на: 3 ноември 2016 и редактирана на:19 август 2019

Съдържание

Събиране на вектори Умножение на вектор с число Изваждане на вектори Скаларно произведение на вектори Векторно произведение на два вектора Двойно векторно произведение Смесено произведение на вектири Тензорно произведение

Събиране на вектори

Сема на два вектора a  и b  наричаме нов вектор, който означаваме с a + b , и който може да се получи по два начина: по правилото на триъгълника или по правилото на успоредника.

При правилото на триъгълника построяваме представител AB  на вектора a  и представител BC  на вектора b , така че върхът B  на представителя на първия вектор да бъде начало на представителя на втория вектор. Тогава насочената отсечка AC , която съединява началото на AB  с върха на BC  е представител на сумата на векторите a + b .

При правилото на успоредника се построяват представители AB  и AD  на двата вектора с общо начало. После се построява успоредник ABCD , който има за страни тези отсечки. Насочената отсечка AC , представляваща диагонал на построения успоредник е представител на сумата на векторите a + b .

Разбира се, двете правила за построяване на сумата на два вектора са равносилни и водят до един и същи резултат. Кое от правилата ще се използва се избира според случая от съображения за удобство.

За събиране на повече от две вектора се построява представител на всеки следващ вектор с начало във върха на представителя на последния добавен вектор. Сумата от всички вектори има за представител насочената отсечка от началото на първия до върха на последния вектор. Това обобщение на правилото на триъгълника се нарича правило на многоъгълника и намира приложение в статиката при събиране на сили.

Ако двата вектора са зададени с координатите си: a x , a y , a z  и b x , b y , b z   координатите на сумата на векторите са: a x + b x , a y + b y , a z + b z .

Сумата на всеки вектор с нулевия вектор е равна на същия вектор: a + 0 = a .

Събирането на вектори е комутативно: a + b = b + a и асоциативно `(vec a + vec b) + vec c =` `vec a + (vec b + vec c)`, т.е. може да се извършва в произволен ред.

Умножение на вектор с число

Произведение на вектор a  с число k , наричаме нов вектор, който означаваме с k a . Посоката на произведението k a  съвпада с посоката на a , когато числото k  е положително и е противоположна, когато k  е отрицателно. Големината на произведението е равна на произведението от големината на вектора и модула на числото: k a = k a .

Ако векторът a  спрямо дадена координатна система има координати: a x , a y , a z  координатите на произведението са: k a x , k a y , k a z .

При умножаване на вектор с числото нула се получава нулев вектор: 0 a = 0 , а при умножаване с 1 се получава същия вектор: 1 a = a .

При умножение на вектор a  с -1 се получава вектор, който означаваме с a . Този вектор е равен по големина на вектора a  и има противоположна посока. Този вектор наричаме противоположен вектор на вектора a . Сумата на даден вектор с неговия противоположен вектор е нулев вектор: a + a = 0 .

Умножението на вектор с число е асоциативно: k l a = kl a , за всеки две числа k  и l  и всеки вектор a .

Изваждане на вектори

Сумата на един вектор a  с противоположния на друг вектор b  наричаме разлика на два вектора. Разликата означаваме с: a b  и имаме: a b = a + b .

Ако се построят представители на двата вектора с общо начало, то представител на разликата е насочената отсечка, която съединява върха на втория вектор с върха на първия.

Ако двата вектора са зададени с координатите си спрямо една координатна система, то разликата им има координати: a x b x , a y b y , a z b z .

Скаларно произведение на вектори

Скаларно произведение a . b  на два ненулеви вектора a  и b  наричаме число, равно на произведението от големините на векторите и косинуса на ъгъла между тях α :

a . b = a . b   cos α ,

а ако някой от векторите е нулев, скаларното произведение по определение се приема за нула.

Скаларното произведение на вектори е дистрибутивно:

a . b + c = a . b + a . c .

Ако векторите a  и b  са зададени с координатите си спрямо декартова координатна система a x , a y , a z  и b x , b y , b z , скаларното произведение се изразява по формулата:

a . b = a x b x + a y b y + a z b z .

Векторно произведение на два вектора

Три вектора в пространството образуват дясна тройка ако при гледане в посока на третия вектор, за да се завърти първият вектор към посоката на втория, чрез въртене на ъгъл по-малък от `180^0`, същият трябва да се завърти по посока на часовниковата стрелка.

Известни начини за запомняне на това определение са "правилото на тирбушона": за да забиете тирбушон по посока на третия вектор, трябва да го завъртите в посока от първия към втория вектор; или "правилото на дясната ръка": за да имаме дясна тройта трябва да можем да сложим дясната си ръка така, че палеца да сочи посоката на първия вектор, изпънатите пръсти - посоката на втория вектор, а третият вектор - от дланта навън.

Векторното произведение на два вектора `vec{a}` и `vec{b}` е трети вектор, който е перпендикулярен на равнината, в която лежат векторите `vec{a}` и `vec{b}`, образува дясна тройка с тях и има големина `a b sin α`, където `a` и `b` са големините на векторите `vec{a}` и `vec{b}`, а `α` е ъгълът между тях.

Векторното произведение на векторите `vec{a}` и `vec{b}` ще означаваме със знака за векторно умнножение `times` така: `vec{a} times vec{b}`.

От оределението е ясно, че ако векторите `vec{a}` и `vec{b}` са колинеарни, ъгълът между тях е нула, и от там и викторното им произведение е нула. Нулирането на векторното произведение се използва като критерии за колинеарност на вектори.

Големината на векторното произведение е равна на лицето на успоредника, образуван от умножаваните вектори.

Ако са извескни координатите на умножаваните вектори `vec{a}(a_x, a_y, a_z)` и `vec{b}(b_x, b_y, b_z)`, а координатите на векторното произведение означим с `vec{c}(c_x, c_y, c_z)`, то координатите на векторното произведение се получават по формулите:

`c_x = a_y b_z - a_z b_y`
`c_y = a_z b_x - a_x b_z`
`c_z = a_x b_y - a_y b_x`

Ако вместо с буквите `x`, `y` и `z` за индексиране на координатите използваме номера `1`, `2` и `3`, и използваме символа на Леви-Чивита:

`epsilon_(ijk) =` `{(0, text(ако някой от индексите е равен на друг индекс)), (1, text(ако пермутацията на индексите е четна) ), (-1, text(ако пермутацията на индексите е нечетна) ):}`

произволна координата `i` на векторното произведение, може да изпалзваме формулата:

`(vec a times vec b)_i =` `epsilon_(ijk) a_j b_k`

в която знакът за сумиране е пропуснат, а сумерането се подразбира по повтарянето на индексите `j` и `k` в трите множителя (правило на Айнщайн).

Векторното произведение е антикомутативно, което означава, че размяната на местата на множителите променя знака на векторното произведение:

`vec a times vec b = ` `- vec b times vec a`

Двойно векторно произведение

Ако са дадени три вектора `vec a `, `vec b` и `vec c`, произведенията `(vec a times vec b) times vec c` и `vec a times ( vec b times vec c)` се наричат двойно векторно произведение на трите вектора.

От определението за векторно произведение следва, че двойното векторно произведение `(vec a times vec b) times vec c` е вектор, който лежи в равнината определена от векторите `vec a` и `vec b`, а произведението `vec a times ( vec b times vec c)` е вектор, който лежи в равнината на векторите `vec b` и `vec c`. Затова да обърнем внимание, че редът на векторните умножения е съществен и произведението `(vec a times vec b) times vec c` е ръзлично от `vec a times ( vec b times vec c)`. Двойното векторно произведение не е асоциативно.

В сила са следните тъждества:

`(vec a times vec b) times vec c = ` ` (vec a . vec c) vec b - (vec b . vec c) vec a` или
`vec a times (vec b times vec c) = ` `(vec a . vec c) vec b - (vec a . vec b) vec c`
тъждество на Лагранж

`(vec a times vec b) times vec c + ` `(vec b times vec c) times vec a + ` `(vec c times vec a) times vec b = 0` или
`vec a times (vec b times vec c) + ` `vec b times (vec c times vec a) + ` `vec c times (vec a times vec b) = 0`
тъждество на Якоби

Да докажем първото от тези тъждества, използвайки формулите за изразяване на координатите на векторното произведение. За координата `x` имаме:

`[(vec a times vec b) times vec c]_x = ` `(vec a times vec b)_y c_z - (vec a times vec b)_z c_y = `
`(a_z b_x - a_x b_z) c_z - (a_x b_y - a_y b_x) c_y = ` `a_z b_x c_z - a_x b_z c_z - a_x b_y c_y + a_y b_x c_y = `
`(a_x c_x + a_y c_y + a_z c_z) b_x - ` `(b_x c_x + b_y c_y + b_z c_z) a_x = `
`[(vec a . vec c) vec b - (vec b . vec c) vec a]_x`

Аналогично се доказва и за другите две координати.

Тъждеството на Якоби може да се докаже чрез циклична замяна на множителите и събиране на получените равенства от първото тъждество.

Частни случаи:

`(vec a times vec b) times vec a = a^2 vec b - (vec a . vec b) vec a`

Смесено произведение на вектири

Ако са дадени три вектора `vec a`, `vec b` и `vec c`, произведението `(vec a times vec b) . vec c` се нарича смесено произведение на трите вектора.

Смесеното произведение е число, равно на детерминантата от координатите на трите вектора.

`(vec a times vec b) . vec c = ` `|(a_x,a_y,a_z),(b_x,b_y,b_z),(c_x,c_y,c_z)|`

Последното се доказва чрез формулите за представяне на векторното и скаларното произведение чрез координатите на векторите.

Смесеното произведение е асоциативно, затова може да се означава без уточняване на това, кое произведение е векторно, а кое скаларно, например с `(vec a, vec b, vec c)`:

`(vec a times vec b) . vec c = ` `vec a .( vec b times vec c) equiv ` `(vec a, vec b, vec c)`

С използване на символа на Леви-Чивита, смесеното произведение се представя с формулата:

`(vec a, vec b, vec c) =` `epsilon_(ijk) a_i b_j c_k`

Смесеното произведение има геометричен смисъл - равно е по модул на обема на паралелепипеда, образуван от трите вектора. От този геометричен смисъл следва, че равенството на смесеното произведение на нула е критерий за компланарност на векторите. (Щом обемът на паралелепипеда е нула, векторите лежат в една равнина или някой от тях е нула.)

Знакът на смесеното произведение зависи от това дали координатната система и тройката вектори са дясно или ляво ориентирани. Ако ориентацията на векторите (дали тройката вектори е лява или дясна) съвпада с ориентацията на координатната система, знакът е положителен, а при различна ориентация - отрицателен.

Някои формули:

`(vec a times vec b)^2 = a^2 b^2 sin^2 alpha`

`(vec a . vec b)^2 = a^2 b^2 cos^2 alpha`

`(vec a times vec b)^2 + (vec a . vec b)^2 = a^2 b^2`

(89.1)
`(vec a times vec b)^2 = a^2 b^2 - (vec a . vec b)^2`

Тензорно произведение

Тензорно произведение `{vec a, vec b}` на два вектора `vec a` и `vec b` се нарича нова 9 компонентна величина, всака от компонентите на която е равна на произведение от координата на първия вектор и координата на втория вектор. Всяка от компонентите на тензорното произведение се означава с два индекса. Първият индекс съответства на индекса на координата на първия вектор, а вторият индекс - на координата на втория вектор. Всичките 9 компоненти на тензорното произведение може да се представят във вид на матрица:

`{vec a, vec b}_(ij) = a_i b_j` или `{vec a, vec b} = ` `((a_x b_x, a_x b_y, a_x b_z),(a_y b_x, a_y b_y, a_y b_z),(a_z b_x, a_z b_y, a_z b_z))`

Ако е зададена нова координатна система с базисни вектори `vec{e'_x}`, `vec{e'_y}` и `vec{e'_z}`, свързани с базисните вектори на първата система със съотношения (88.1) и матрица на трансформацията (88.2), като приложим формулата за трансформиране на координатите на всеки вектор (88.4), получаваме формула за трансформиране на компонентите `P_(ij)` на тензорното произведение:

(89.2)
`P_(ij) =` `T_(ik) a'_k T_(jl) b_l=` `T_(ik) T_(jl) P'_(kl)`

 

Направено с MyCMS. Copyright CC BY-ND 4.0.