Действия с вектори

Страницата е създадена на: 3 ноември 2016 и редактирана на:17 март 2018

Събиране на вектори

Сема на два вектора a  и b  наричаме нов вектор, който означаваме с a + b , и който може да се получи по два начина: по правилото на триъгълника или по правилото на успоредника.

При правилото на триъгълника построяваме представител AB  на вектора a  и представител BC  на вектора b , така че върхът B  на представителя на първия вектор да бъде начало на представителя на втория вектор. Тогава насочената отсечка AC , която съединява началото на AB  с върха на BC  е представител на сумата на векторите a + b .

При правилото на успоредника се построяват представители AB  и AD  на двата вектора с общо начало. После се построява успоредник ABCD , който има за страни тези отсечки. Насочената отсечка AC , представляваща диагонал на построения успоредник е представител на сумата на векторите a + b .

Разбира се, двете правила за построяване на сумата на два вектора са равносилни и водят до един и същи резултат. Кое от правилата ще се използва се избира според случая от съображения за удобство.

Ако двата вектора са зададени с координатите си: a x , a y , a z  и b x , b y , b z   координатите на сумата на векторите са: a x + b x , a y + b y , a z + b z .

Сумата на всеки вектор с нулевия вектор е равна на същия вектор: a + 0 = a .

Събирането на вектори е комутативно: a + b = b + a , т.е. може да се извършва в произволен ред.

Умножение на вектор с число

Произведение на вектор a  с число k , наричаме нов вектор, който означаваме с k a . Посоката на произведението k a  съвпада с посоката на a , когато числото k  е положително и е противоположна, когато k  е отрицателно. Големината на произведението е равна на произведението от големината на вектора и модула на числото: k a = k a .

Ако векторът a  спрямо дадена координатна система има координати: a x , a y , a z  координатите на произведението са: k a x , k a y , k a z .

При умножаване на вектор с числото нула се получава нулев вектор: 0 a = 0 , а при умножаване с 1 се получава същия вектор: 1 a = a .

При умножение на вектор a  с -1 се получава вектор, който означаваме с a . Този вектор е равен по големина на вектора a  и има противоположна посока. Този вектор наричаме противоположен вектор на вектора a . Сумата на даден вектор с неговия противоположен вектор е нулев вектор: a + a = 0 .

Умножението на вектор с число е асоциативно: k l a = kl a , за всеки две числа k  и l  и всеки вектор a .

Изваждане на вектори

Сумата на един вектор a  с противоположния на друг вектор b  наричаме разлика на два вектора. Разликата означаваме с: a b  и имаме: a b = a + b .

Ако се построят представители на двата вектора с общо начало, то представител на разликата е насочената отсечка, която съединява върха на втория вектор с върха на първия.

Ако двата вектора са зададени с координатите си спрямо една координатна система, то разликата им има координати: a x b x , a y b y , a z b z .

Скаларно произведение на вектори

Скаларно произведение a . b  на два ненулеви вектора a  и b  наричаме число, равно на произведението от големините на векторите и косинуса на ъгъла между тях α :

a . b = a . b   cos α ,

а ако някой от векторите е нулев, скаларното произведение по определение се приема за нула.

Скаларното произведение на вектори е дистрибутивно:

a . b + c = a . b + a . c .

Ако векторите a  и b  са зададени с координатите си спрямо декартова координатна система a x , a y , a z  и b x , b y , b z , скаларното произведение се изразява по формулата:

a . b = a x b x + a y b y + a z b z .

Векторно произведение на два вектора

Три вектора в пространството образуват дясна тройка ако при гледане в посока на третия вектор, за да се завърти първият вектор към посоката на втория, чрез въртене на ъгъл по-малък от `180^0`, същият трябва да се завърти по посока на часовниковата стрелка.

Векторното произведение на два вектора `vec{a}` и `vec{b}` е трети вектор, който е перпендикулярен на равнината, в която лежат векторите `vec{a}` и `vec{b}`, образува дясна тройка с тях и има големина `a b sin α`, където `a` и `b` са големините на векторите `vec{a}` и `vec{b}`, а `α` е ъгълът между тях.

Големината на векторното произведение е равна на лицето на успоредника, образуван от умножаваните вектори.

Векторното произведение на векторите `vec{a}` и `vec{b}` ще означаваме със знага за векторно умнножение `times` така: `vec{a} times vec{b}`.

Ако са извескни координатите на умножаваните вектори `vec{a}(a_x, a_y, a_z)` и `vec{b}(b_x, b_y, b_z)`, а координатите на векторното произведение означим с `vec{c}(c_x, c_y, c_z)`, то координатите на векторното произведение се получават по формулите:

`c_x = a_y b_z - a_z b_y`
`c_y = a_z b_x - a_x b_z`
`c_z = a_x b_y - a_y b_x`

 

Направено с MyCMS. Copyright CC BY-ND 4.0.