Комплексни числа

Страницата е създадена на: 3 ноември 2016 и редактирана на: 1 август 2017

Както е известно уравнението: i 2 = 1 няма решение в множеството на реалните числа. В математиката все пак се допуска, че това уравнение има решение, което представлява число, наречено имагинерна единица. Продължавайки с още допускания в тази посока се приема, че имагинерната единица i може да участва в аритметични действия: събиране, изваждане, умножение и деление заедно с реалните числа и тези действия се подчиняват на същите правила, както действията само с реални числа. Произведенията iy на различни от нула реални числа y с имагинерната единица i се наричат имагинерни числа, а сумите:

z = x + iy ,

в които x и y са произволни реални числа, а i - имагинерната единица, се наричат комплексни числа. Реалното число x се нарича реална част на комплексното число z , а y - имагинерна част. Множеството на комплексните числа представлява разширение на множеството на реалните числа, защото включва реалните числа като свое подмножество. Реалните числа са комплексни числа с имагинерна част 0. На практика действия събиране, изваждане, умножение и деление с комплексни числа се извършват по същите правила, както действията с реални числа и само, където е необходимо се прилага свойството на имагинерната единица i 2 = 1 .

Например, сумата на две коплексни числа `x_1 + i y_1` и `x_2 + i y_2` съставяме така:

`x_1 + i y_1 + x_2 + i y_2 = x_1 + x_2 + i(y_1 + y_2)`.

Произведението им:

`(x_1 + i y_1)(x_2 + i y_2) = x_1 x_2 + i x_1 y_2 + i x_2 y_1 + i^2 y_1 y_2 = x_1 x_2 - y_1 y_2 + i(x_1 y_2 + x_2 y_1)`.

Частното:

`(x_1 + i y_1)/(x_2 + i y_2) = ((x_1 + i y_1)(x_2 - i y_2))/((x_2 + i y_2)(x_2 - i y_2)) = (x_1 x_2 + y_1 y_2 + i (y_1 x_2 - x_1 y_2))/(x_2^2 + y_2^2) = (x_1 x_2 + y_1 y_2)/(x_2^2 + y_2^2) + i (y_1 x_2 - x_1 y_2)/(x_2^2 + y_2^2)`.

Ако приемем, че реалните и имагинерните части на комплексните числа са декартови координати на точки в равнината, то на всяко комплексно число съответства точно една точка в равнината и обратно - всяка точка в равнината съответства на едно единствено комплексно число. Следователно, докато реалните числа се изобразяват като точки върху ос, комплексните числа могат да се изобразяват с точки в равнина, която наричаме комплексна равнина. Две комплексни числа z 1 = x 1 + i y 1 и z 2 = x 2 + i y 2 са равни, ако са равни както техните реални части: x 1 = x 2 , така и имагинерните им части: y 1 = y 2 . Две равни комплексни числа се изобразяват с една и съща точка в комплексната равнина.

Ако за определяне положението на точките в равнината, съответстващи на комплексни числа, използваме полярни координати ρ и ϕ вместо декартови координати x = ρ   cos   ϕ и y = ρ   sin   ϕ , то комплексното число z , съответстващо на дадена точка, можем да представим в тригонометричен вид:

(91.1)
z = ρ ( cos   ϕ + i   sin   ϕ )

В тригонометричното представяне: ρ = x 2 + y 2 се нарича модул на комплексното число, а: ϕ = arctg y x - аргумент на комплексното число. Аргументът ϕ на едно комплексно число не е еднозначно определен, защото поради периодичността на трегонометричните функции промяната на аргумента с цяло число 2 π , не променя нито реалната нито имагинерната част на комплексното число.

В теорията на комплексните числа е доказана следната формула на Ойлер:

(91.2)
cos   ϕ + i   sin   ϕ = e i ϕ

Един начин за извеждане на тази формула, може да намерите в статия Формула на Ойлер, в bg.wikipedia.

Ако вземем предвид, че косинусът е четна, а синусът е нечетна функция, т.е.: cos ( ϕ ) = cos   ϕ и sin ( ϕ ) = sin   ϕ , може да заменим ϕ с ϕ и да получим и друга формула на Ойлер:

(91.3)
`cos ϕ - i sin ϕ = e^(-i ϕ)`

Сега ако веднъж съберем двете формули, а после ги извадим получаваме още две формули на Ойлер:

(91.4)
`cos ϕ = (e^(i ϕ) + e^(-i ϕ))/2`

(91.5)
`sin ϕ = (e^(i ϕ) - e^(-i ϕ))/(2i)`

В тригонометричното представяне (91.1) на едно комплексно число може да заменим тригонометричните функции с експонента по формулата на Ойлер (91.2) и да получим следното представяне на комплексното число:

(91.6)
`z = ρ e^(i ϕ)`

Комплексното число:

z * = x - iy

се нарича имагинерно спрегнато на комплексното число z = x + iy . Очевидно тригонометричният вид на имагинерно спрегнатото число е:

z * = ρ ( sin   ϕ i   sin   ϕ ) ,

а ако заместим тригонометричните функции с експонента по формулата на Ойлер (91.3), получаваме тригонометричния вид на имагинерно спрегнатото число:

(91.7)
z * = ρ   e i ϕ

От (91.6) и (91.7) следва:

z   z * = ρ 2 .

Когато имагинерно спрегнатото   z *  на едно комплексно число z  е равно на самото число, т.е. z = z * , имагинерната част `y` следва да удовлетворява уравнението: y = y , което има единствено решение: y = 0 . Удовлетворяването на уравнението: z = z * е необходимо и достатъчно условие комплексното число z  да е реално число.

 

Направено с MyCMS. Copyright CC BY-ND 4.0.