Кинематика на хармонично трептене

Страницата е създадена на: 4 ноември 2016 и редактирана на: 8 ноември 2016

Да разгледаме един пример за движение, което представлява трептене. Ако материална точка M  се движи равномерно по окръжност с радиус A , то нейната ортогонална проекция M  върху някой от диаметрите на окръжността извършва трептене. Ако използваме декартова координатна система с начало O  в центъра на окръжността и разгледаме проекцията M  на материалната точка M  върху оста y , ординатата на тази проекция в даден момент е:

y = A   sin   ϕ ,

където ϕ  е полярния ъгъл между радиус вектора на материалната точка и оста x . Този ъгъл се променя с времето по закона: ϕ = ϕ 0 + ω t , където ϕ 0  е полярния ъгъл в началния момент време t = 0 , а ω  - ъгловата скорост. Следователно координата на проекцията M  върху оста y  се изменя с времето по закона:

(98.1)
y = A   sin   ( ϕ 0 + ω t ) .

Движение, което се извършва по синусов закон, изразяващ се с формула като тази се нарича хармонично трептене. Величините, които участват във формулата се наричат: y  - отклонение от равновесното положение или елонгация; A  - амплитуда и представлява максималната абсолютна стойност на отклонението от положението на равновесие; ϕ = ϕ 0 + ω t  - величината, която стои под знака на синуса се нарича фаза на трептенето в момента t ; ϕ 0  - начална фаза и ω  - кръгова честота.

Хармоничното трептене е периодично движение и се характеризира с период T  и честота v , които са свързани с кръговата честота по познатите от въпроса за равномерно движение по окръжност формули:

ν = 1 T , T = 1 ν , ω = 2 π ν , ω = 2 π T .

Скоростта и ускорението при хармоничното трептене се получават от закона за движението чрез последователно диференциране:

v = dy dt = d dt [ A   sin   ( ϕ 0 + ω t ) ] = A ω   cos   ( ϕ 0 + ω t ) .

a = dv dt = d dt [ ω A   cos   ( ϕ 0 + ω t ) ] = ω 2 A   sin   ( ϕ 0 + ω t ) .

Следователно, законът за скоростта и законът за ускорението при хармонично трептене са:

v = A ω   cos   ( ϕ 0 + ω t )     и     a = ω 2 A   sin   ( ϕ 0 + ω t ) .

 

Направено с MyCMS. Copyright CC BY-ND 4.0.