Размерност на линейно пространство

Страницата е създадена на: 9 септември 2019 и редактирана на:13 септември 2019

Размерност на линейното пространство `V` е цялото число `n`, ако максималният брой линейно независими вектори, които може да се намерят в него е `n` и кои да са `n+1` на брой вектори са линейно зависими. Линейно пространство с размерност `n` се нарича `n`-мерно линейно пространство.

Линейно пространство е безкрайно-мерно, ако в него може да се намери произволен брой линейно независими елементи.

Ако размерността на линейно пространство е `n`, то всяко множество от `n` линейно независими вектори `e_1`, `e_2`, ..., `e_n` е базис в това пространство. Наистина, ако `x` е произволен елемент, то елементите: `x`, `e_1`, `e_2`, ..., `e_n` са `n+1` на брой и от определението за размерност на линейно пространство следва, че са линейно зависими и съществуват числа `a`, `a_1`, `a_2`, ... `a_n`, за които:

`a x + ` `a_1 e_1 +` `a_2 e_2 + ...` `+ a_n e_n = 0`

При това `a` не е нула и може да умножим с `1/a` и да преобразуваме последното равенство в разложение на `x`, по линейно независимите вектори:

`x = ` `(-a_1/a) e_1 +` `(-a_2/a) e_2 + ...` `+ (-a_n/a) e_n`

Понеже `x` е произволен вектор, следва че векторите `e_1`, `e_2`, ..., `e_n` са базис.

Ако в линейно пространство съществува базис от `n` елемента, то размерността на пространството е `n`.

Предишна страница: Базис и координати

Следваща страница: Евклидови пространства