Форма на увиснало въже

Страницата е създадена на:26 септември 2019 и редактирана на:14 октомври 2019

Неразтегливо въже с дължина `L` е окачено в две точки, намиращи са на разстояние по-малко от `L`. Да се намери функцията описваща формата на въжето.

Връзка: Equation of Catenary.

Във вертикалната равнина, в която лежат краищата на въжето въвеждаме координатна система с хоризонтална ос `x`, и посока от едната към другата точка и вертикална, насочена нагоре ос `y`. За начало на координатната система да изберем най-долната точка на провисване на въжето.

Да разгледаме малка част от въжето намираща се между вертикалните прави с координати `x` и `x+dx`. Ако `y(x)` е функцията описваща формата на въжето, а `y'` е нейната производна, дължината на тази малка част от въжето е:

`dL = sqrt(dx^2 + dy^2) = sqrt(1+y'^2)dx`

Теглото на малката част от въжето е:

`dG = rho g S sqrt(1+y'^2)dx`

Където `rho` е плътността на въжето, `g` - земното ускорение, `S` - площта на сечението на въжето.

На разглежданата малка част от въжето действат сили на опъване `vec T(x)` в двата края, насочени по допирателната към кривата на формата на въжето и сила на тежестта на частта от въжето, насочена надолу. Всяка от силите на опъване разлагаме на хоризонтална `T_x` и вертикална `T_y` компоненти. В хоризонтално направление освен компонентите на силите на опъване не действат други сили и затова тези компоненти се уравновесяват взаимно и са равни по цялата дължина на въжето на една постоянна стойност:

`T_x = T cos alpha = T_0` или намираме, че `T = T_0/(cos alpha)`

Да изразим разликата в големините на вертикалните компоненти на силите на опъване

`d T_y = d ( T sin alpha ) = d (T_0 (sin alpha)/(cos alpha)) = T_0 d( tg alpha) = T_0 d y'`

Тази разлика се уравновесява от теглото на малката част от въжето:

`T_0 d y' = rho g S sqrt(1+y'^2)dx`

Така стигаме до диференциално уравнение от втори ред:

`y'' = (rho g S)/T_0 sqrt(1+y'^2)`

Със смяна на променливите `y' = z` то се свежда до уравнение от първи ред:

`z' = (rho g S)/T_0 sqrt(1+z^2)`

което се решава по метода на разделяне на променливите:

`int (dz)/sqrt(1+z^2) = int (rho g S)/T_0 dx`

Интегралът в дясно е: `int (rho g S)/T_0 dx =` `(rho g S)/T_0 x`, а за интеграла в ляво WolframAlpha ни дава: `int (dz)/sqrt(1+z^2) = sinh^(-1) z`, така че получаваме:

`sinh^(-1) z = (rho g S)/T_0 x + C` или

`z = sinh( (rho g S)/T_0 x + C)`

Повече за хиперболичните функции, които се налага да използваме, вижте в Хиперболична функция.

Поради извършената замяна на променливи `z =` `y' =` `(dy)/(dx) =` `tg alpha` е производната на функцията на кривата на формата на въжето и е равна на ъгъла между направлението на въжето и хоризонталната ос `x`. В най-долната точка на въжето, която сме избрали за начало на координатната система `x = 0`, въжето е хоризонтално и `z = 0`. От това начално условие получаваме уравнение за определяне на константата `C`: `sinh(C) = 0` с решение `C = 0`

Сега вече за функцията `y(x)` имаме уравнение:

`(dy)/(dx) = sinh( (rho g S)/T_0 x )`

чието решение е:

`y =` `int sinh( (rho g S)/T_0 x ) dx =` `T_0/(rho g S) cosh( (rho g S)/T_0 x ) + C_2`

От началното условие `y(0) = 0`, получаваме: `C_2 = - T_0/(rho g S)`, така че окончателно получаваме, че формата на въжето, в така избраната координатна система се описва с функцията:

`y =` `T_0/(rho g S)( cosh( (rho g S)/T_0 x ) - 1)`

 

Copyright CC BY-ND 4.0.
Посещения на страницата: общо 609 днес 0
Направено с VanyoG CMS.
Force Reload