Равномерно променливо (равнопроменливо) движение

Страницата е създадена на:26 октомври 2016 и редактирана на:11 юни 2020

Праволинейното движение с постоянно ускорение се нарича равномерно променливо движение или равнопроменливо движение. Следователно, за равномерно променливо движение можем да напишем:

$a = const$ .

Като се знае, че ускорението е първа производна на скоростта (вижте формула (62.2)) се получава обикновено диференциално уравнение:

$\frac{dv}{dt} = a$ .

След решаването на това уравнение (аналогично на извода на закона за движението при равномерно праволинейно движение) получаваме закона за скоростта:

(64.1)

v = v_{0} + at

в който `v_0` е скоростта на материалната точка в началния момент време `t = 0`.

Когато големината на скоростта на материална точка намалява с времето, движението се нарича закъснително движение, а когато се увеличава - ускорително движение. Дясната страна на формула (64.1) нараства по абсолютна стойност, ако `v_0` и `a` имат еднакви знаци, от което следва, че движението е закъснително, когато ускорението има противоположна на началната скорост посока и ускорително - когато посоката (знакът) на ускорението съвпада с посоката (знака) на началната скорост.

Скоростта е първа производна на координатата, затова от (64.1) може да напишем ново обикновено диференциално уравнение:

$\frac{dx}{dt} = v_{0} + at$ ,

което решаваме за да получим закона за движението. Първо умножаваме двете страни с $dt$ . Получаваме:

$dx = (v_{0} + at) dt$ .

След това интегрираме в граници, определени от моментите време $t = 0$ и $t$ :

$\int_{x_{0}}^{x} dx = \int_{0}^{t} (v_{0} + at) dt$ .

Решението на тези интеграли е:

$\int_{x_{0}}^{x} dx = x - x_{0}$ и $\int_{0}^{t} (v_{0} + at) dt = \int_{0}^{t} v_{0} dt + \int_{0}^{t} atdt = v_{0} t + a \frac{t^{2}}{2}$ .

След като заместим интегралите с техните решения и прехвърлим $x_{0}$ в дясната страна получаваме и закона за движението при равнопроменливо движение:

$x = x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ .

Тук $x$ е координатата на материалната точка в произволен момент време $t$ , $x_{0}$ - координатата в началния момент време $t = 0$ , $v_{0}$ - скоростта в началния момент и $a$ - постоянното по стойност ускорение.

Ще докажем, че при равномерно променливо движение средната скорост за интервала време `Δt = t_2 - t_1` е равна на средната стойност от скоростите `v_1` и `v_2` на материалната точка в моментите време `t_1` и `t_2`:

`v_(ср) = (v_1 + v_2)/2`

Да напишем изведените закони за скоростта и за движението първо за момента `t_1`, а после за момента `t_2`:

`v_1 = v_0 + a t_1`

`v_2 = v_0 + a t_2`

`x_1 = x_0 + v_0 t_1 + 1/2 a t_1^2`

`x_2 = x_0 + v_0 t_2 + 1/2 a t_2^2`

От първите две равенства изразяваме времената `t_1` и `t_2`:

(64.2)

`t_1 = (v_1 - v_0)/a` `t_2 = (v_2 - v_0)/a`

а от вторите две равенства изразяваме преместването:

`Δx = x_2 - x_1 = v_0(t_2 - t_1) + 1/2 a (t_2^2 - t_1^2) = v_0(t_2 - t_1) + 1/2 a (t_2 - t_1)(t_1 + t_2)`

и средната скорост: