Комплексни числа
Страницата е създадена на: 3 ноември 2016 и редактирана на:11 юни 2020
Както е известно уравнението: няма решение в множеството на реалните числа. В математиката все пак се допуска, че това уравнение има решение, което представлява число, наречено имагинерна единица. Продължавайки с още допускания в тази посока се приема, че имагинерната единица може да участва в аритметични действия: събиране, изваждане, умножение и деление заедно с реалните числа и тези действия се подчиняват на същите правила, както действията само с реални числа. Произведенията на различни от нула реални числа с имагинерната единица се наричат имагинерни числа, а сумите:
,
в които и са произволни реални числа, а - имагинерната единица, се наричат комплексни числа. Реалното число се нарича реална част на комплексното число , а - имагинерна част. Множеството на комплексните числа представлява разширение на множеството на реалните числа, защото включва реалните числа като свое подмножество. Реалните числа са комплексни числа с имагинерна част 0. На практика действия събиране, изваждане, умножение и деление с комплексни числа се извършват по същите правила, както действията с реални числа и само, където е необходимо се прилага свойството на имагинерната единица .
Например, сумата на две коплексни числа `x_1 + i y_1` и `x_2 + i y_2` съставяме така:
`x_1 + i y_1 + x_2 + i y_2 = x_1 + x_2 + i(y_1 + y_2)`.
Произведението им:
`(x_1 + i y_1)(x_2 + i y_2) = x_1 x_2 + i x_1 y_2 + i x_2 y_1 + i^2 y_1 y_2 = x_1 x_2 - y_1 y_2 + i(x_1 y_2 + x_2 y_1)`.
Частното:
`(x_1 + i y_1)/(x_2 + i y_2) = ((x_1 + i y_1)(x_2 - i y_2))/((x_2 + i y_2)(x_2 - i y_2)) = (x_1 x_2 + y_1 y_2 + i (y_1 x_2 - x_1 y_2))/(x_2^2 + y_2^2) = (x_1 x_2 + y_1 y_2)/(x_2^2 + y_2^2) + i (y_1 x_2 - x_1 y_2)/(x_2^2 + y_2^2)`.
Ако приемем, че реалните и имагинерните части на комплексните числа са декартови координати на точки в равнината, то на всяко комплексно число съответства точно една точка в равнината и обратно - всяка точка в равнината съответства на едно единствено комплексно число. Следователно, докато реалните числа се изобразяват като точки върху ос, комплексните числа могат да се изобразяват с точки в равнина, която наричаме комплексна равнина. Две комплексни числа и са равни, ако са равни както техните реални части: , така и имагинерните им части: . Две равни комплексни числа се изобразяват с една и съща точка в комплексната равнина.
Ако за определяне положението на точките в равнината, съответстващи на комплексни числа, използваме полярни координати и вместо декартови координати и , то комплексното число , съответстващо на дадена точка, можем да представим в тригонометричен вид:
В тригонометричното представяне: се нарича модул на комплексното число, а: - аргумент на комплексното число. Аргументът на едно комплексно число не е еднозначно определен, защото поради периодичността на трегонометричните функции промяната на аргумента с цяло число , не променя нито реалната нито имагинерната част на комплексното число.
В теорията на комплексните числа е доказана следната формула на Ойлер:
Един начин за извеждане на тази формула, може да намерите в статия Формула на Ойлер, в bg.wikipedia.
Ако вземем предвид, че косинусът е четна, а синусът е нечетна функция, т.е.: и , може да заменим с и да получим и друга формула на Ойлер:
Сега ако веднъж съберем двете формули, а после ги извадим получаваме още две формули на Ойлер:
В тригонометричното представяне (91.1) на едно комплексно число може да заменим тригонометричните функции с експонента по формулата на Ойлер (91.2) и да получим следното представяне на комплексното число:
Комплексното число:
се нарича имагинерно спрегнато на комплексното число . Очевидно тригонометричният вид на имагинерно спрегнатото число е:
,
а ако заместим тригонометричните функции с експонента по формулата на Ойлер (91.3), получаваме тригонометричния вид на имагинерно спрегнатото число:
.
Когато имагинерно спрегнатото на едно комплексно число е равно на самото число, т.е. , имагинерната част `y` следва да удовлетворява уравнението: , което има единствено решение: . Удовлетворяването на уравнението: е необходимо и достатъчно условие комплексното число да е реално число.
Предишна страница: Оператори и функционали
Следваща страница: Записки по физика
Copyright CC BY-ND 4.0.
Посещения на страницата: общо 3040 днес 0
Направено с VanyoG CMS.
Force Reload