Връзка между потенциала и интензитета на електричното поле

Страницата е създадена на:19 октомври 2018 и редактирана на:19 октомври 2018

Нека електричен заряд $q$ да извършва малко преместване $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$ в електрично поле с интензитет $\overrightarrow{E}$. Понеже преместването е малко можем да приемем, че интензитета на полето е един и същ във всички точки, през които преминава заряда при това преместване. Следователно постоянна остава и силата $\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{E}$, с която електричното поле действа на заряда и работата на тази сила е:

$A=\overrightarrow{F}.\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}=q\overrightarrow{E}.\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$.

От друга страна същата работа може да се изрази с напрежението (потенциалната разлика) между началната и крайната точка:

$A=q({\mathrm{\varphi }}_1-{\mathrm{\varphi }}_2)=-q({\mathrm{\varphi }}_2-{\mathrm{\varphi }}_1)=-q\mathrm{\Delta }\mathrm{\varphi }$.

Като приравним двата израза и съкратим на заряда получаваме следната връзка между интензитета и потенциала на електричното поле в близко разположени точки:

$\overrightarrow{E}.\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}=-\mathrm{\Delta }\mathrm{\varphi }$.

Нека преместването на заряда е по направление на оста $x$ на координатната система. В този случай скаларното произведение на интензитета и преместването се свежда до произведението:

$\overrightarrow{E}.\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}=E_x\mathrm{\Delta }x$

на координатата $E_x$ на вектора на интензитета и изменението $\mathrm{\Delta }x$ на координатата $x$. Следователно: $E_x\mathrm{\Delta }x=-\mathrm{\Delta }\mathrm{\varphi }$. Или:

$E_x=-\frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{\varphi }}{\mathrm{\Delta }x}$.

Тази формула е приблизителна и нейната точност зависи от това доколко наистина е малко извършеното преместване така, че да може да се приеме, че при извършването му координатата на интензитета $E_x$ остава постоянна. Точна формула ще имаме ако преместването клони към нула: $\mathrm{\Delta }x\to 0$, следователно:

$E_x=-\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\mathit{lim}}\frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{\varphi }}{\mathrm{\Delta }x}$.

Границата в дясната страна на това равенство съвпада с определението за частна производна $\frac{\partial \mathrm{\varphi }}{\partial x}$ на потенциала $\mathrm{\varphi }$ по координатата $x$, следователно може да напишем, че координатата $E_x$ на интензитета на електричното поле е равна на взетата със знак минус частна производна на потенциала по координатата $x$:

$E_x=-\frac{\partial \mathrm{\varphi }}{\partial x}$.

С аналогични разсъждения се получава, че и другите две координата на интензитета на електричното поле са равни на съответните, взети със знак минус частни производни на потенциала:

$E_y=-\frac{\partial \mathrm{\varphi }}{\partial y}$    и    $E_z=-\frac{\partial \mathrm{\varphi }}{\partial z}$.

Векторът, който ще означаваме с $\nabla \mathrm{\varphi }$ (чете се "набла фи") или с $\mathit{grad}\mathrm{\varphi }$, чиито координати са равни на частните производни на потенциала по трите пространствени координати:

$\nabla \mathrm{\varphi }\equiv \mathit{grad}\mathrm{\varphi }\equiv (\frac{\partial \mathrm{\varphi }}{\partial x},\frac{\partial \mathrm{\varphi }}{\partial y},\frac{\partial \mathrm{\varphi }}{\partial z})$.

представлява градиент на потенциала $\mathrm{\varphi }$. Следователно, интензитетът на електричното поле е равен на взетия със знак минус градиент на потенциала:

$\overrightarrow{E}=-\nabla \mathrm{\varphi }\equiv -\mathit{grad}\mathrm{\varphi }$.

Намерената връзка между интензитета и потенциала на електричното поле освен теоретично има и практично значение, защото в много случаи е по-лесно да се пресметне потенциала на електричното поле и след това чрез диференциране може да се определи и интензитета на електричното поле.

 

Предишна страница: Еквипотенциални повърхнини

Следваща страница: Потенциал на електричното поле на дипол