Собствени, незатихващи хармонични трептения

Страницата е създадена на: 5 ноември 2016 и редактирана на: 7 март 2023

Уравнението на движение на една материална точка, върху която действа само квазиеластична сила $F = - kx$ , както видяхме, се свежда до линейно, обикновено диференциално уравнение с постоянни коефициенти:

$\overset{..}{x} + ω_{0}^{2} x = 0$ ,

в което сме въвели означението $\frac{k}{m} = ω_{0}^{2}$ . Частни решения на това уравнение търсим във вид на функция: $x = e^{λ t}$ . Като изразим втората производна на тези функция и заместим в диференциалното уравнение, получаваме неговото характеристично уравнение:

$λ^{2} + ω_{0}^{2} = 0$ .

Това характеристично уравнение има имагинерни корени:

$λ_{1} = i ω_{0}$ и $λ_{2} = - i ω_{0}$ ,

на които съответстват следните частни решения на диференциалното уравнение:

$x_{1} (t) = e^{i ω_{0} t}$ и $x_{2} (t) = e^{- i ω_{0} t}$ .

С помощта на тези частни решения можем да изразим общото решение:

$x = C_{1} x_{1} (t) + C_{2} x_{2} (t) = C_{1} e^{i ω_{0} t} + C_{2} e^{- i ω_{0} t}$ ,

където $C_{1}$ и $C_{2}$ са произволни комплексни константи. Виждаме, че общото решение, което получаваме, се изразява с комплексни числа и за да има физичен смисъл трябва от него да се отделят само решенията, които се изразяват с реални числа. Необходимо и достатъчно условие едно комплексно число $z$ да бъде реално число, е то да бъде равно на своето имагинерно спрегнато: $z = z^{*}$ . Прилагайки това условие върху полученото общо решение получаваме уравнението:

$C_{1}^{*} e^{- i ω_{0} t} + C_{2}^{*} e^{i ω_{0} t} = C_{1} e^{i ω_{0} t} + C_{2} e^{- i ω_{0} t}$ ,

което може да бъде удовлетворено ако са равни константите пред еднаквите експоненти от двете му страни:

$C_{1}^{*} = C_{2}$ и $C_{2}^{*} = C_{1}$ .

Да представим константата $C_{1}$ в тригонометричен вид:

(101.1)

C_{1} = \frac{a}{2} e^{i α}

Така за константата $C_{2}$ получаваме:

$C_{2} = C_{1}^{*} = \frac{a}{2} e^{- i α}$ ,

а като заместим с тези константи в общото решение получаваме:

$x = \frac{a}{2} e^{i α} e^{i ω_{0} t} + \frac{a}{2} e^{- i α} e^{- i ω_{0} t} = \frac{a}{2} [e^{i (ω_{0} t + α)} + e^{- i (ω_{0} t + α)}] = a \cos (ω_{0} t + α)$ .

(При последното преобразувание използвахме формулата на Ойлер: $\cos ϕ = \frac{e^{i ϕ} + e^{- i ϕ}}{2}$ .) Следователно, реалната функция на времето, която е общо решение на уравнението на движение на трептяща под действие на квазиеластична сила материална точка е:

$x = a \cos (ω_{0} t + α)$ .

Ако вместо във вида (101.1) представим константата `C_1` във вида `C_1 = a/(2i) e^(i α_1)`, се получава решение от вида:

`x = a sin (ω_0 t + α_1)`

Трептенe, коeто се извършва по получените косинусов или синусов закон, се нарича хармонично трептене. Величините, които характеризират това трептене са двете константи $a$ и $α$ . $a$ се нарича амплитуда на трептенето, а $α$ - начална фаза. $ω_{0}$ е кръговата честота на собствените трептения на системата, която се нарича също и собствана чустота на системата. При всяко повторение на това трептене материалната точка се отклонява до едно и също максимално разстояние от равновесното положение, равно на амплитудата, затова се казва още, че трептенето е незатихващо.

Предишна страница: Обикновени, линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти

Следваща страница: Апериодично движение и затихващи собствени трептения

Мнения за тази страница

Все още няма мнения.

Напишете своето мнение.