Обикновени, линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти

Страницата е създадена на: 5 ноември 2016 и редактирана на:11 юни 2020

Уравненията, които получихме в предишния въпрос, в математиката спадат към вида на линейните, обикновени диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти. В тези уравнения участва неизвестна функция $x$ на времето $t$ , както и производните на тази функция до втори ред включително ( $\dot{x}$ и $\overset{..}{x}$ ).

Чрез въвеждане на нови означения, да приведем споменатите уравнения (100.1), (100.2) и (100.3) в по-удобен за анализиране и решаване вид. Първо да ги разделим на масата $m$ . Получаваме:

$\overset{..}{x} + \frac{k}{m} x = 0$ ,

$\overset{..}{x} + \frac{r}{m} \dot{x} + \frac{k}{m} x = 0$ и

$\overset{..}{x} + \frac{r}{m} \dot{x} + \frac{k}{m} x = \frac{F_{0}}{m} \cos ω t$ .

сега да въведем означенията:

$\frac{r}{m} = 2 β$ , $\frac{k}{m} = ω_{0}^{2}$ и $\frac{F_{0}}{m} = f_{0}$ .

При тези означения уравненията добиват вида:

(102.1)

`ddot x + ω_0^2 x = 0`

(102.2)

`ddot x + 2 β dot x + ω_0^2 x = 0`

(102.3)

`ddot x + 2 β dot x + ω_0^2 x = f_0 cos (ω t)`

Уравнения (102.1) и (102.2), дясната страна на които е 0, се наричат хомогенни уравнения, а уравнение (102.3), дясната страна на което е различна от нула функция, се нарича нехомогенно уравнение. Всяка конкретна функция, която удовлетворява дадено уравнение се нарича частно решение на това уравнение, а множеството от всички частни решения се нарича общо решение.

В математиката се доказва, че общото решение на едно хомогенно, линейно, обикновено диференциално уравнение от втори ред е сума от произведението на две произволни константи $C_{1}$ и $C_{2}$ с две линейно независими¹ функции $x_{1} (t)$ и $x_{2} (t)$ , представляващи частни решения на уравнението, т.е. има вида:

$x = C_{1} x_{1} (t) + C_{2} x_{2} (t)$ ,

а общото решение на нехомогенно линейно, обикновено, диференциално уравнение е сума от общото решение на съответното му хомогенно уравнение и кое да е негово частно решение. Следователно, намирането на общото решение се свежда до намиране на няколко частни решения.

Частните решения на хомогенно, линейно, обикновено диференциално уравнение от втори ред търсим във вида:

(102.4)

`x = e^(λ t)`

където, $λ$ е коефициент, който трябва да се определи така, че тази функция да удовлетворява диференциалното уравнение. Първата и втората производна на тази функция са:

$\dot{x} = λ e^{λ t}$ и $\overset{..}{x} = λ^{2} e^{λ t}$ .

Като заместим с тези производни и съкратим експоненциалния множител $e^{λ t}$ от уравнение (102.1) и (102.2) получаваме:

$λ^{2} + ω^{2} = 0$ и

$λ^{2} + 2 β λ + ω^{2} = 0$ .

Това са квадратни уравнения относно неизвестния коефициент $λ$ , които трябва да решим за да намерим стойностите на $λ$ , за които функцията (102.4) е частно решение на хомогенните уравнения. Тези квадратни уравнения се наричат характеристични уравнения на съответните обикновени диференциални уравнения.

В следващите въпроси ще представим резултатите от решаването на всяко от горните уравнения.

¹ Две функции $x_{1} (t)$ и $x_{2} (t)$ са линейно независими ако не съществува различна от нула константа $C$ , за която: $x_{1} (t) = C x_{2} (t)$ .

Предишна страница: Уравнение на трептяща система

Следваща страница: Собствени, незатихващи хармонични трептения

Мнения за тази страница

Все още няма мнения.

Напишете своето мнение.