Уравнение на Бернули при идеални флуиди

Страницата е създадена на:30 януари 2017 и редактирана на:22 май 2022

Силите на взаимодействие между две съседни части в един флуид въобще могат да имат посоки, които не са перпендикулярни на разделящата ги повърхност. Нека $\mathrm{\Delta }S$ е лицето на малка част от граничната повърхност, отделяща две съседни части на един флуид. Нека силата, с която едната част на флуида действа върху другата част през разглежданата малка повърхност е $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{F}$. Тази сила може да се представи като сума от две сили:

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{F}=\mathrm{\Delta }{\overrightarrow{F}}_n+\mathrm{\Delta }{\overrightarrow{F}}_{\mathrm{\tau }}$,

като едната от тези сили $\mathrm{\Delta }{\overrightarrow{F}}_n$ е перпендикулярна на повърхността и се нарича нормална сила, а другата $\mathrm{\Delta }{\overrightarrow{F}}_{\mathrm{\tau }}$ е допирателна към повърхността и се нарича тангенциална сила. Силата $\mathrm{\Delta }{\overrightarrow{F}}_n$ обуславя налягането във флуида, а силата $\mathrm{\Delta }{\overrightarrow{F}}_{\mathrm{\tau }}$ обуславя вътрешното триене във флуида.

Опитът показва, че при повечето флуиди, големината на нормалната сила е многократно по-голяма от тангенциалната и в редица задачи тангенциалната сила (силата на вътрешно триене) може да се пренебрегне. Несвиваем флуид, в който пренебрегваме силите на вътрешно триене се нарича идеална течност.

Когато идеална течност се движи в поле на консервативни сили (например, в полето на силата на тежестта) неконсервативните сили, чието действие предизвиква изменение на механичната енергия на флуида, са външните сили, упражняващи налягане върху флуида. От закона за запазване на пълната механична енергия следва едно уравнение, приложимо за движението на идеална течност, което се нарича уравнение на Бернули. Да покажем как се получава това уравнение.

Да разгледаме стационарно движение на идеална течност. Да отделим една тънка токова тръба, образуваща се при това движение и да проследим движението на обема флуид заключен между две сечения $S_1$ и $S_2$ на тази токова тръба. Нека скоростта на флуида през сечението $S_1$ да е ${\overrightarrow{v}}_1$, а през сечението $S_2$ да е ${\overrightarrow{v}}_2$. Нека за интервал време $\mathrm{\Delta }t$ точките от флуида, пресичащи сечението $S_1$ изминават път $\mathrm{\Delta }{l}_1$ и сечението се премества в ново положение $S_1^{\mathrm{\prime }}$. За същото време точките от флуида пресичащи $S_2$ изминават път $\mathrm{\Delta }{l}_2$ и това сечение се премества в положение $S_2^{\mathrm{\prime }}$. За разглеждания интервала време обемът от флуида заключен между сеченията $S_1$ и $S_2$ се премества в ново положение, заключено между сеченията $S_1^{\mathrm{\prime }}$ и $S_2^{\mathrm{\prime }}$. Тъй като разглеждаме стационарно движение, частта от флуида, намираща се в токовата тръба между сеченията $S_1^{\mathrm{\prime }}$ и $S_2$ в края на интервала време $\mathrm{\Delta }t$ се движи точно по същия начин както и в началото му, т.е. не се променя по никакъв начин за това време. Разликата в двете положения на разглеждания обем флуид се състои в това, че сякаш обемът $\mathrm{\Delta }V$ разположен между сеченията $S_1$ и $S_1^{\mathrm{\prime }}$ се е преместил в положение между сеченията $S_2$ и $S_2^{\mathrm{\prime }}$. Следователно, изменението на пълната механична енергия на целия обем флуид, чието движение разглеждаме ($S_1$ - $S_2$), е равно на изменението на пълната механична енергия на малкия обем $\mathrm{\Delta }V$. Нека масата на този малък обем флуид е $\mathrm{\Delta }m$. Тогава пълната механична енергия в началното му положение е:

$E_1=\frac{\mathrm{\Delta }m{.v}_1^2}{2}+\mathrm{\Delta }m.g.h_1$, а в крайното: $E_2=\frac{\mathrm{\Delta }m{.v}_2^2}{2}+\mathrm{\Delta }m.g.h_2$

Следователно, изменението на пълната механична енергия е:

$\mathrm{\Delta }E=E_2-E_1=\frac{\mathrm{\Delta }m{.v}_2^2}{2}+\mathrm{\Delta }m.g.h_2-\frac{\mathrm{\Delta }m{.v}_1^2}{2}-\mathrm{\Delta }m.g.h_1$

Ако върху сечението $S_1$ действа сила с големина $F_1$, която създава налягане $p_1$. За тази сила имаме, че: $F_1=p_1{S}_1$, а работата ѝ е:

$A_1=F_1{\mathrm{\Delta }l}_1=p_1{S}_1{\mathrm{\Delta }l}_1=p_1\mathrm{\Delta }V$

В последното преобразувание използваме, че произведението $S_1{\mathrm{\Delta }l}_1$ е равно на обема $\mathrm{\Delta }V$ (формулата за обем на цилиндър). Аналогично, за работата на силата $F_2$, която действа върху другото сечение $S_2$ получаваме:

$A_2=-F_2{\mathrm{\Delta }l}_2=-p_2{S}_2{\mathrm{\Delta }l}_2=-p_2\mathrm{\Delta }V$

Тази работа е отрицателна, защото посоката на силата е противоположна на посоката на преместването. Изменението на пълната механична енергия $\mathrm{\Delta }E$ е равно на работата на силите, действащи върху флуида:

$\mathrm{\Delta }E=A_1+A_2$

и като заместим с изразите от горните формули получаваме:

$\frac{\mathrm{\Delta }m.v_2^2}{2}+\mathrm{\Delta }m.g.h_2-\frac{\mathrm{\Delta }m.v_1^2}{2}-\mathrm{\Delta }m.g.h_1=p_1\mathrm{\Delta }V-p_2\mathrm{\Delta }V$

Като разделим двете страни на това равенство на обема $\mathrm{\Delta }V$ и като имаме предвид, че $\mathrm{\rho }=\frac{\mathrm{\Delta }m}{\mathrm{\Delta }V}$ е плътността на флуида, получаваме:

$\frac{\mathrm{\rho }.v_2^2}{2}+\mathrm{\rho }.g.h_2-\frac{\mathrm{\rho }.v_1^2}{2}-\mathrm{\rho }.g.h_1=p_1-p_2$

Като прехвърлим членовете с отрицателен знак от другата страна на уравнението, получаваме:

$\frac{\mathrm{\rho }.v_2^2}{2}+\mathrm{\rho }.g.h_2+p_2=\frac{\mathrm{\rho }.v_1^2}{2}+\mathrm{\rho }.g.h_1+p_1$

Разглежданата тясна токова тръба, както и сеченията й $S_1$ и $S_2$ бяха избрани произволно и така от последното равенство получаваме уравнението на Бернули, което показва, че по направление на всяка токова линия при стационарно течение на идеална течност изразът $\frac{\mathrm{\rho }.v^2}{2}+\mathrm{\rho }.g.h+p$ има постоянна стойност:

Copyright CC BY-ND 4.0.
Посещения на страницата: общо 6250 днес 0
Направено с VanyoG CMS.
Force Reload