Интензитет на електричното поле на равномерно зареден цилиндър

Страницата е създадена на:19 октомври 2018 и редактирана на:19 октомври 2018

Да намерим с помощта на теоремата на Гаус интензитета на електричното поле, създавано от безкраен цилиндър, повърхността на който е равномерно заредена с постоянна плътност на електричния заряд $\mathrm{\sigma }$. От съображения за симетрия следва, че интензитета на електричното поле на този цилиндър във всяка точка от пространството има посока, перпендикулярна на оста на цилиндъра и еднаква големина в точките, разположени на едно и също разстояние от оста $r$.

Да изразим потока на интензитета на електричното поле през повърхността на друг цилиндър, чиято ос съвпада с тази на заредения безкраен цилиндър, височината му е $h$ и радиуса на основата: $r$. Векторът на интензитета на електричното поле е успореден на основите на този цилиндър и следователно потока на интензитета през тях е нула. Но вектора на интензитета е перпендикулярен на околна повърхност на същия цилиндър и следователно потока на интензитета през околната му повърхност е равен на произведението от големината на интензитета $E$ и лицето на околната повърхност $S=2\mathrm{\pi }\mathit{rh}$: ${\mathrm{\Phi }}_E=ES=E2\mathrm{\pi }\mathit{rh}$. Очевидно, потокът на интензитета на електричното поле през цялата повърхност на разглеждания цилиндър е също:

${\mathrm{\Phi }}_E=E2\mathrm{\pi }\mathit{rh}$.

Зарядът, който се намира във вътрешността на този цилиндър е нула, ако неговия радиус е по-малък от радиуса на заредения цилиндър. По теоремата на Гаус от това следва, че потока на интензитета на електричното поле също трябва да е нула, но тогава от получения израз $E2\mathrm{\pi }\mathit{rh}=0$ следва, че и интензитета не електричното поле е нула. Следователно, във вътрешността на заредения цилиндър интензитета на електричното поле е нула.

Когато разглеждания цилиндър има радиус $r$ по-голям от радиуса $R$ на заредения цилиндър, във вътрешността му попада целият заряд намиращ се на повърхността $\mathrm{S\text{'}}$ на затворената в него част от заредения цилиндър. Този заряд е $Q=\mathrm{\sigma }\mathrm{S\text{'}}=\mathrm{\sigma }2\mathrm{\pi }Rh$. Вместо като равномерно разпределен по повърхност с повърхнинната плътност на заряда $\mathrm{\sigma }$, този заряд можем да разглеждаме и като равномерно разпределен по дължината (височината) на цилиндъра. Разпределението на електричен заряд по дължина се описва с линейна плътност на заряда. Ако върху част с дължина $h$ на дадено тяло има електричен заряд $Q$ отношението:

$\mathrm{\lambda }=\frac{Q}{h}$

се нарича средна линейна плътност на електрическия заряд върху това тяло. В нашия случай заряда на частта от заредения цилиндър с височина $h$ има стойност $Q=\mathrm{\lambda }h$, при което $\mathrm{\lambda }=\mathrm{\sigma }2\mathrm{\pi }R$. Сега от теоремата на Гаус се получава: ${\mathrm{\Phi }}_E=E2\mathrm{\pi }rh=\frac{Q}{{\mathrm{ϵ}}_0\mathrm{ϵ}}=\frac{\mathrm{\lambda }h}{{\mathrm{ϵ}}_0\mathrm{ϵ}}$, и следователно:

$E=\frac{1}{{2\mathrm{\pi }\mathrm{ϵ}}_0\mathrm{ϵ}}\frac{\mathrm{\lambda }}{r}$.

Вижда се, че интензитета на електричното поле извън заредения цилиндър намалява обратно пропорционално на разстоянието $r$ от оста му. Освен това във формулата не участва радиуса $R$ на заредения цилиндър. Следователно тази формулата остава в сила и за цилиндър с безкрайно малък радиус, т.е. за равномерно заредена безкрайна, права нишка. Може да се каже още, че електричното поле извън един равномерно зареден цилиндър е такова, сякаш се създава от заряди разпределени с постоянна линейна плътност само по оста на цилиндъра.

Предишна страница: Интензитет на електричното поле на две равномерно заредени успоредни равнини

Следваща страница: Потенциална енергия на електрични зеряди