Тензори

Страницата е създадена на:19 август 2019 и редактирана на:13 септември 2019

Определение за тензор

Получената формула (89.3) за трансформиране на компонентите на тензорното произведение на вектори е основа за дефиниране на тензорните величини. Тензорна величина, или тензор се нарича 9-компонентна величина, която при смяна на координатната система променя стойностите на своите компоненти `P_(ij)` по формулата:

`P_(ij) =` `T_(ik) T_(jl) P'_(kl)`

Това един частен случай на общата дефиниция за тензор, който е напълно достатъчен за целите на изложението в записките от този сайт. По-точно дадената дефиниция е за тензор от втори ранг. Тензорите от ранг `p` в тримерно пространство са величини, които имат по `3^p` компоненти. От тази гледна точка скаларите - величини с една компонента са тензори от нулев ранг, а векторите са тензори от първи ранг.

Всички компоненти на тензор от втори ранг може да се представят с матрица:

`(P_(ij)) = ((P_(11),P_(12),P_(13)),(P_(21),P_(22),P_(23)),(P_(31),P_(32),P_(33)))`

Някои примери за тензори

Единичен тензор

Представя се с матрицата:

`(delta_(ij)) = ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))`

и компонентите му `delta_(ij)` имат свойства: `delta_(ij) = 1` при `i=j` и `delta_(ij) = 0` при `i ne j`. Означението `delta_(ij)` за числата с посоченото свойство се нарича символ на Кронекер, делта-символ или делта-символ на Кронекер.

Изотропен тензор

Изотропен се нарича тензор, чиито компоненти имат еднакви стойности във всички координатни системи. Такъв е единичният тензор, както и всеки тензор, чиито компоненти са произведение от скалар `a` и символ на Кронекер: `a delta_(ij)`. Такъв тензор се нарича още сферичен тензор, което се обосновава защо в страница: Главни оси и компоненти на тензор от втори ранг.

Някои действия с тензори

Умножаване на тензор с вектор

Тензорите се използват за представяне на правопропорционална зависимост между вектори, при която увеличаването на големината на единия вектор, правопропорционално увеличава големината и на другия вектор, но без да е задължително векторите да са колинеарни. Такава зависимост се изразява с произведение на тензор с независимия вектор, и получаване в резултат на зависимия вектор. Ако координатите на векторите са `x_i` и `y_j` произведението на първия вектор с тензор с компоненти `P_(ij)` се изразява с формулата:

`y_i = P_(ij) x_j`

Събиране и изваждане на тензори

Сумата или разликата на два тензора е нов тензор, компонентите на който са съответно сума или разлика на двата тензора.

`C_(ij) = A_(ij)+B_(ij)`

Умножение на тензор с число

Това е нов тензор, чиито компоненти са равни на произведението на всяка компонента на стария тензор с числото:

`C_(ij) = k A_(ij)`

Свойства на тензорите

Симетричен тензор се нарича тензор, който не се променя при размяна на местата на индексите:

`P_(ij) = P_(ji)`

Независимите уравнения, които представят написаното условие за симетричност са три (за всяка от трите двойки несъвпадащи индекси: 12, 13 и 23), което означава, че ако един тензор е симетричен, то от неговите 9 компоненти само 6 остават да са независими.

Антисиметричен тензор или обратно симетричен тензор се нарича тензор, всяка от компонентите на който променя знака си при размяна на местата на индексите:

`P_(ij) = - P_(ji)`

Независимите условия за антисиметричност са 6, което означава, че антисиметричните тензори имат само по три независими компоненти. Това са компонентите с индекси 12, 13 и 23. Компонентите на антисиметричен тензор с еднакви индекси (11, 22 и 33), които се наричат още диагонални елементи, са равни на нула.

Всеки тензор с компоненти `A_(ij)` може да се представи като сума от симетричен тензор:

`1/2(A_(ij)+A_(ji))`

и антисиметричен тензор:

`1/2(A_(ij) - A_(ji))`

Предишна страница: Вектори

Следваща страница: Главни оси и компоненти на тензор от втори ранг