Матрици

Страницата е създадена на: 7 септември 2019 и редактирана на:14 февруари 2020

Определение

Матрица наричаме правоъгълна таблица от числа, подредени в `n` на брой редове и `m` на брой стълбове. Броят на редовете и стълбовете се нарича ред на матрицата и се означава с `n times m`. Когато броят на редовете е равен на броя на стълбовете, матрицата се нарича квадратна матрица. Числата, участващи в матрицата се наричат елементи на матрицата. Елементите на матрица ще означаваме с малка буква и два индекса, например: `a_(ij)`. Първият индекс (в примера: `i`) означава номера на реда, а вторият индекс (`j`) - номера на стълба, в които се намира дадения елемент. Цялата матрица ще означаваме с главна буква, например: `A` или чрез означението на един елемент заграден в скоби `(a_(ij))`, или с изписване на всички елементи във вид на таблица, заградена в скоби:

`((a_(11), a_(12), ..., a_(1n)), (a_(21), a_(22), ..., a_(2n)), (..., ..., ..., ...), (a_(m1), a_(m2), ..., a_(mn)))`

Ще използваме и означение от вида: `A_((m times n))` за матрица с `m` реда и `n` стълба.

Когато матрицата е квадратна от ред `n times n`, елементите с еднакви индекси `a_(11)`, `a_(22)`, ... `a_(n n)`, съставляват главният диагонал на матрицата, а елементите с индекси `a_(n1)`, `a_((n-1)2)`, ... `a_(1n)` - вторичния диагонал.

Две матрици `A_((m times n))` и `B_((p times q))`са равни, ако са с еднакъв ред (`m=p` и `n=q`) и елементите на едната матрица съвпадат с елементите на другата матрица (`a_(ij)=b_(ij)` за всяко `i=1-:m` и `j=1-:n`).

Действия с матрици

Събиране на матрици

От две матрици `A = (a_(ij))` и `B = (b_(ij))` от един и същи ред може да се получи нова матрица `C = (c_(ij))`, която се нарича сума на матриците `A` и `B`. Означаваме:

`С = A + B`

при което елементите на матрицата сбор са равни на сумите на съответните елементи на двете матрици

`c_(ij) = a_(ij) + b_(ij)`

Събирането на матрици е комутативно:

`A + B = B + A`

и асоциативно:

`(A + B) + C = A + (B + C)`

Умножение на матрица с число

Ако е дадена матрица `A = (a_(ij))` и число `k`, то новата матрица, която означаваме с `kA`, всеки елемент на която е равен на произведението от числото `k` и съответния елемент на матрицата `A` наричаме произведение на матрицата `A` и числото `k`.

`(kA)_(ij) = (k a_(ij))`

Умножението на матрица с число е комутативно:

`kA = Ak`

асоциативно:

`(k l) A = k (l A)`

и дистрибутивно:

`(k + l) A = k A + l A`

`k (A + B) = k A + k B`

Умножение на две матрици

...

Предишна страница: Линейна алгебра