Линейни пространства

Страницата е създадена на: 7 септември 2019 и редактирана на:24 септември 2019

Линейно пространство е множество от елементи, в което са дефинирани операции (действия): събиране на два елемента и умножение на елемент с число. Елементите на линейните пространства често се наричат вектори, а линейните пространства - линейни векторни пространства.

Наличието на операция събиране означава, че на всеки два елемента `x` и `y` от линейното пространство се съпоставя елемент `z`, който се нарича сума на `x` и `y`. Този факт означаваме така: `z = x + y`.

При операция умножение на всяко число `alpha` и на всеки елемент `x` на линейното пространство се съпоставя елемент `u`, който представлява произведението на числото `alpha` и елемента `x`. Означаваме: `u = alpha x`.

В случай, че числата са реални ще имаме реално линейно пространство, а ако числата са комплексни - комплексно линейно пространство.

Операциите събиране на елементи и умножение на елемент с число притежават следните свойства по определение:

`x + y = y + x`

`(x + y) + z = x + (y + z)`

Съществува елемент на линейното пространство, който означаваме с `0` и наричаме нулев елемент със свойство:
`x + 0 = x`
за всеки елемент `x` на линейното пространство.

За всеки елемент `x` съществува противоположен елемент `x'` със свойство:
`x + x' = 0`

`1 x = x`

`alpha ( beta x) = (alpha beta) x`

`(alpha + beta) x = alpha x + beta x`

`alpha (x + y) = alpha x + alpha y`

Ако допуснем, че съществува и друг нулев елемент `0'` със свойство: `x + 0' = x`, то прилагайки това за елемента `0`, имаме: `0 + 0' = 0`, но от друга страна, от свойството на елемента `0` имаме и: `0' + 0 = 0'`. Поради това че: `0+0'=0'+0` следова `0' = 0`, което доказва, че нулевият елемент на всяко линейно пространство е единствен.

Ако допуснем, че някой елемент `x` има втори противоположен елемент `x''` със свойство `x + x'' = 0`, може да напишем: `x'' =` `x'' + 0 =` `x'' + (x + x') =` `(x'' + x) + x' = ` `0 + x' =` `x'`, което доказва, че противоположният елемент на всеки елемент е единствен.

Произведението на всеки елемент с числото нула е равно на нулевия елемент. Наистина: `0 x =` `0 x + 0 =` `0 x + (x + x') =` `(0 x + x) + x' =` `(0 x + 1 x) + x' =` `(0+1)x + x' =` `1 x + x' =` `x + x' = 0`

Противоположният елемент е равен на произведението на елемента с числото -1. Доказателство: `x' =` `x' + 0 =` `x' + 0x =` `x' + (1 - 1)x =` `1 x' + 1 x + (-1)x =` `1(x' + x) + (-1)x =` `1.0 +(-1)x =` `0 + (-1)x =` `(-1)x`

 

Предишна страница: Системи линейни уравнения

Следваща страница: Линейна зависимост