Линейни оператори

Страницата е създадена на: 9 септември 2019 и редактирана на:14 февруари 2020

Оператор наричаме съответствие, с което на всеки елемент от едно линейно пространство се съпоставя елемент от друго линейно пространство.

Нека `x` е елемент от линейното пространство `V`, а `y` елемент от линейно пространство `W`, който се съпоставя на `x` чрез оператор `A`. Означаваме: `y = A x`. Елементът `y` наричаме образ на елемента `x`.

Оператор `A` е линеен оператор, ако за всеки два елемента `x_1` и `x_2` от линейното пространство `V` и всяко число `alpha` са изпълнени равенствата:

`A (x_1 + x_2) = A x_1 + A x_2`

`A ( alpha x_1) = alpha (A x_1)`

Ако `W` е множеството на комплексните числа, линейният оператор се нарича линейна форма или линеен функционал.

Ако `W` съвпада с `V`, линейният оператор се нарича линейно преобразование.

Сума на два оператора `A` и `B` е оператор, който се дефинира с равенството:

`(A + B) x = A x + B x`

Произведение на оператор `A` с число `alpha` се дефинира с равенството:

`(alpha A) x = A (alpha x)`

Нулев оператор `0` е оператор, който на всеки елемент от пространство `V` съпоставя нулевият елемент на пространство `W`:

`0 x = 0`

Противоположен оператор `-A` на оператор `A` се нарича оператор, който:

`–A = (-1) A`

Множеството `L(V,W)` на всички линейни оператори, които на елементи от линейното пространство `V` съпоставят елементи от линейно пространства `W` при така дефинираните действия събиране на оператори и умножение на оператор с число представлява линейно пространство.

С `L(V,V)` се означава множеството на всички линейни оператори, които на елементи на линейното пространство `V` съпоставят елементи от същото пространство. Тези линейни оператори се наричат също линейни преобразования в линейното пространство `V`.

Линейният оператор `I` от `L(V,V)` се нарича единичен оператор и притежава свойството да съпоставя на всеки елемент на линейното пространство същия елемент:

`I x = x`

Произведение на два оператора `A` и `B` от `L(V,V)` се означава с `A B` и се дефинира с равенството, валидно за всеки елемент `x` от `V`:

`(A B) x = A (B x)`

Произведението на два оператора е некомутативно: `AB ne BA`, но притежава следните свойства:

`alpha (A B) = (alpha A) B`

`A (B C) = (A B) C`

`(A + B) C = (A C) + (B C)`

`A (B + C) = (A B) + (A C)`

Всяко от тези свойства се доказва с последователно прилагане на определенията. Например:

`[alpha (A B)]x =``(A B)(alpha x) =``A[B(alpha x)] =``A[alpha(B x)] =``(alpha A)(B x)] =` `[(alpha A)B] x`

Обратен оператор на даден оператор `A` от `L(V,V)` се нарича оператор `A^-1`, за който е изпълнено: `A A^-1 = A^-1 A = I`.

 

Предишна страница: Евклидови пространства

Следваща страница: Криптография