Базис и координати

Страницата е създадена на: 9 септември 2019 и редактирана на:17 септември 2019

Линейно независимите елементи `e_1`, `e_2`, ..., `e_n` на линейно пространство `V` образуват базис, ако за всеки елемент `x` от линейното пространство може да се определят `n` числа `x_1`, `x_2`, ..., `x_n`, такива че:

`x = ` `x_1 e_1 +` `x_2 e_2 +` `... + x_n e_n`

Последната формула се нарича разложение на елемента `x` спрямо базиса. Числата `x_1`, `x_2`, ..., `x_n` се наричат координати на елемента `х` спрямо базиса, а елементите на базиса се наричат базисни елементи.

От линейната независимост на базисните елементи следва, че ако съществува разложение на даден елемент, това разложение е единствено. Наистина, ако допуснем, че съществува и второ множество от координати `x'_1`, `x'_2`, ..., `x'_n` на един и същи елемент `x` то разликата на двете разложения е нула:

`x_1 e_1 +` `x_2 e_2 +` `... + x_n e_n -` `x'_1 e_1 -` `x'_2 e_2 -` `... - x'_n e_n =`
`(x_1 - x'_1) e_1 +` `(x_2 - x'_2) e_2 +` `... + (x_n - x'_n) e_n = 0`

От линейната независимост базисните елементи следва, че последното равенство е възможно само при: `x_1 - x'_1 = 0`, `x_2 - x'_2 = 0`, ..., `x_n - x'_n = 0`.

Да представим с координати сумата на два елемента:

`x + y = ` `x_1 e_1 +` `x_2 e_2 +` `... + x_n e_n + ` `y_1 e_1 +` `y_2 e_2 +` `... + y_n e_n = `
`(x_1 + y_1) e_1 +` `(x_2 + y_2) e_2 +` `... + (x_n + y_n) e_n`

Получихме, че координатите на сумата на два елемента `x + y` са сума от координатите на елементите.

При умножение на елемент с число имаме:

`a x = ` `a (x_1 e_1 +` `x_2 e_2 +` `... + x_n e_n) = ` `(a x_1) e_1 +` `(a x_2) e_2 +` `... + (a x_n) e_n`

Координатите на произведението на елемент с число са равни на произведенията на числото с всяка от координатите.

Предишна страница: Линейна зависимост

Следваща страница: Размерност на линейно пространство