Нормирано пространство

Страницата е създадена на:17 септември 2019 и редактирана на:18 октомври 2019

Нормирано пространство е линейно пространство, в което за всеки елемент `x` е дефинирано число `norm x`, наречено норма или големина на елемента, което по дефиниция има следните свойства, при всеки избор на елементи `x` и `y`, и реално число `alpha`:

`norm x = 0` само при `x=0` и
`norm x > 0` за всеки елемент `x ne 0`

`norm (alpha x) = abs alpha norm x`

`norm (x + y) <= norm x + norm y`

Последното свойство се нарича неравенство на триъгълника или неравенство на Минковски.

Всяко евклидово пространство, в което се приеме за норма: `norm x = sqrt(x.x)` е нормирано пространство, което се доказва чрез непосредствена проверка.

В евклидово пространство с норма `norm x = sqrt(x.x)` може да се дефинира ъгъл `phi` между два елемента чрез равенството:

`cos phi = (x.y)/(sqrt (x.x) sqrt(y.y))`

и може да се приеме, че ако `cos phi = 0` елементите `x` и `y` са перпендикулярни. Така следва, че два елемента се перпендикулярни ако скаларното им произведение е нула: `x.y = 0`

Ако направим още една геометрична аналогия и разликата `x+y` на два перпендикулярни елемента `x` и `y`, наречем хипотенуза, то получаваме, че е в сила теоремата на Питагор:

`norm(x+y)^2 = norm x^2 + norm y^2`

Наистина:

`norm(x+y)^2 = ` `(x+y).(x+y) =` `x.x + 2(x.y) + y.y =` `x.x + y.y = ` `norm x^2 + normy^2`

Полученото може да се обобщи за система от повече от два, два по два перпендикулярни елементи:

`x_1`, `x_2`, ..., `x_n` за които `x_i.x_j = 0` при `i ne j`

`z = sum_(i=1)^n x_i`

`norm z^2 = sum_(i=1)^n norm x_n^2`

 

Предишна страница: Евклидови пространства

Следваща страница: Ортонормирани базиси