Скорост на материална точка

Страницата е създадена на:24 октомври 2016 и редактирана на:19 септември 2019

От началното или средно училище знаем, че скоростта е величина, която характеризира бързината на движение на дадено тяло. Опростеното, най-разпространено определение за скорост е, че скоростта е равна на пътя, който изминава дадено тяло за единица време. На това определение съответства формулата:

$v = \frac{Δ s}{Δ t}$ .

където $v$ е скоростта, $Δ s$ - пътя, а $Δ t$ -времето, за което се изминава този път. За приложение във физиката обаче, това определение и формула се оказват недостатъчно точни и трябва да се уточнят и подобрят. Първият недостатък на горната формула е, че когато по нея се пресмята скоростта за различни интервали време $Δ t$ може да се получават различни стойности на скоростта. Тази формула дава представа за бързината на движението за целия интервал време, но не и каква е бързината на движение във всеки момент време. Друг недостатък на посочената формула е, че тя не отразява посоката на движение. Т.е. скоростта трябва да е векторна величина, а по тази формула получаваме скаларна величина. Ето защо във физиката се използват по-точни определения за няколко величини, характеризиращи бързината на движение.

Частното от преместването $Δ \vec{r}$ и интервала време $Δ t$ , за който се извършва това преместване, се нарича средна скорост на материалната точка за интервала време $Δ t$ :

`vec v_(text(ср.)) = (Delta vec r)/(Delta t)`

Нека интервалът време $Δ t$ да се прави все по-малък, като, например, за краен момент време $t_{2}$ се взема все по-близък до началния момент $t$ . Тогава казваме, че интервалът време $Δ t$ клони към нула и пишем $Δ t \to 0$ . Когато $Δ t \to 0$ векторът на средната скорост клони към вектор $\vec{v}$ , който наричаме моментна скорост или скорост на материалната точка в момент `t`:

(59.1)

\vec{v} = \lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ \vec{r}}{Δ t}

Полученият по тази формула вектор $\vec{v}$ има посока по допирателната към траекторията. Неговите три координати $(v_{x}, v_{y}, v_{z})$ се получават по подобни формули, отнасящи се за всяка от координатите на материалната точка:

$v_{x} = \lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ x}{Δ t}$ , $v_{y} = \lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ x}{Δ t}$ , $v_{z} = \lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ z}{Δ t}$ .

Всъщност, предишната векторна формула е равносилна на съвкупността от тези три формули за всяка от координатите на вектора на моментната скорост. Тези формули съвпадат с познатата от математиката формула за производна на функция, следователно, всяка от координатите на вектора на скоростта е първа производна на съответната координата на материалната точка по времето:

$v_{x} = \frac{dx}{dt} = x'(t)$ , $v_{y} = \frac{dx}{dt} = y'(t)$ и $v_{z} = \frac{dx}{dt} = z'(t)$ .

Вместо тези три формули може да запишем само една векторна:

$\vec{v} = \frac{d \vec{r}}{dt} = \vec{r'} (t)$

и да кажем, че моментната скорост $\vec{v}$ е първа производна по времето на радиус-вектора $\vec{r}$ на материалната точка. Ето защо, когато е известен закона за движението (зависимостта на радиус-вектора от времето), скоростта във всеки момент може да се намери чрез диференциране (намиране на производна).

Единицата за скорост в SI е производна единица без специално наименование:

$[v] = \frac{m}{s} = m s^{- 1}$ (чете се: "метър за секунда" или "метър в секунда").

Скоростта на една материална точка в общия случай може да се променя с времето, както по големина така и по посока. Зависимостта на скоростта (моментната скорост) от времето:

$\vec{v} = \vec{v} (t)$

се нарича закон за скоростта. Законът за скоростта може да се представи и чрез зависимостта от времето на трите координати на скоростта, спрямо отправната система:

$v_{x} = v_{x} (t)$ , $v_{y} = v_{y} (t)$ и $v_{z} = v_{z} (t)$ .

Ако разглеждаме пътя $s (t)$ , който изминава материалната точка от началния момент време $t = 0$ до момента $t$ , като функция на времето $t$ , може да се докаже, че големината на моментната скорост е равна на първата производна на пътя по времето:

$v = s' (t)$ .

Предишна страница: Връзка между пътя и координатите

Следваща страница: Големина на скоростта, изразяване на пътя и координатите чрез скоростта

Мнения за тази страница

Все още няма мнения.

Напишете своето мнение.