Големина на скоростта, изразяване на пътя и координатите чрез скоростта

Страницата е създадена на:24 октомври 2016 и редактирана на: 8 април 2019

За да изразим големината на скоростта използваме, че за малки интервали време пътят $\mathrm{\Delta }s$ е равен на големината на преместването $\left|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}\right|$ и пишем:

$v=\left|\overrightarrow{v}\right|=\left|\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\mathit{lim}}\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}}{\mathrm{\Delta }t}\right|=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\mathit{lim}}\frac{\left|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}\right|}{\mathrm{\Delta }t}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\mathit{lim}}\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$.

Ако разглеждаме пътя $s$, изминат от материалната точка от началния момент време $t=0$ до момента $t$ като функция на времето $s=s(t)$, последната граница съвпада с определението за производна на $s(t)$. Така получаваме, че големината на скоростта е равна на производната на пътя по времето:

$v=\frac{\mathit{ds}}{\mathit{dt}}\equiv s\prime (t)\equiv \stackrel{.}{s}(t)$.

(Във физиката е прието, понякога производната да се означава с точка над символа на величината. Със символа $\equiv$ изразяваме равнозначност на различните означения.)

Ако познаваме зависимостта на големината на скоростта от времето $v(t)$, чрез интегриране може да намерим зависимостта на пътя от времето $s(t)$. Наистина, последната формула $v=\frac{\mathit{ds}}{\mathit{dt}}$ можем да представим във вида:

$\mathit{ds}=v(t)\mathit{dt}$.

За да подчертаем, че скоростта е функция на времето вместо само $v$ пишем $v(t)$. Сега интегрираме:

$\underset{0}{\overset{s(t)}{\int }}\mathit{ds}=\underset{0}{\overset{t}{\int }}v(t)\mathit{dt}$.

Интегралът в лявата страна е равен на: $s(t)$, следователно:

$s(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}v(t)\mathit{dt}$.

Ако познаваме зависимостта на всяка от координатите $(v_x,v_y,v_z)$ на скоростта от времето, чрез интегриране може да намерим изменението на координатите $(x,y,z)$ на материалната точка за времето между два момента $t_1$ и $t_2$. Например за координатата $x$ имаме: $v_x=\frac{\mathit{dx}}{\mathit{dt}}$ или $\mathit{dx}=v_x(t)\mathit{dt}$ и като интегрираме $\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}\mathit{dx}=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}{v}_x(t)\mathit{dt}$, левият интеграл дава изменението на координатата $x$: $x_2-x_1=\mathrm{\Delta }x$, следователно:

$\mathrm{\Delta }x=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}{v}_x(t)\mathit{dt}$.

Аналогично се получават и измененията на другите две координати:

$\mathrm{\Delta }y=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}{v}_y(t)\mathit{dt}$      и     $\mathrm{\Delta }z=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}{v}_z(t)\mathit{dt}$.

Измененията на трите координата на материалната точка се явяват координати на вектора на преместването $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$, така че получените три формули може да се запишат като една векторна формула:

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\overrightarrow{v}(t)\mathit{dt}$.

Ако разглеждаме преместването от начално положение $\overrightarrow{r_0}=\overrightarrow{r}(0)$ в момента $t=0$, до положението $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}(t)$ в момента $t$, последната формула позволява да се определи закона за движението:

$$\overrightarrow{r}(t)=\overrightarrow{r_0}+\underset{0}{\overset{t}{\int }}\overrightarrow{v}(t)\mathit{dt}$$ .

 

Предишна страница: Скорост на материална точка

Следваща страница: Ускорение