Ускорение

Страницата е създадена на:25 октомври 2016 и редактирана на:19 август 2019

Нека в момент $t$ скоростта на материалната точка да е $\overrightarrow{v}$, а в по-късния момент $t_2$ да е ${\overrightarrow{v}}_2$, следователно изменението на скоростта за интервала време $\mathrm{\Delta }t=t_2-t$ е ${\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}}_2-\overrightarrow{v}$. Частното на изменението на скоростта $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ и интервала време $\mathrm{\Delta }t$ се нарича средно ускорение на материалната точка за интервала време $\mathrm{\Delta }t$:

${\stackrel{\rightharpoonup }{a}}_{\text{с}\text{р}.}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}}{\mathrm{\Delta }t}$.

Когато интервалът време клони към нула $\mathrm{\Delta }t\to 0$, средното ускорение клони към определена стойност $\overrightarrow{a}$, наречена моментно ускорение на материалната точка в момент $t$:

$\stackrel{\rightharpoonup }{a}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\mathit{lim}}\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}}{\mathrm{\Delta }t}$.

Това векторното равенство може да се представи и с три аналогични равенства за координатите на векторите:

$a_x=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\mathit{lim}}\frac{\mathrm{\Delta }{v}_x}{\mathrm{\Delta }t}$, $a_y=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\mathit{lim}}\frac{\mathrm{\Delta }{v}_y}{\mathrm{\Delta }t}$ и $a_z=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\mathit{lim}}\frac{\mathrm{\Delta }{v}_z}{\mathrm{\Delta }t}$.

Границите в тези равенства съвпадат с дефиницията за производна на функция, следователно всяка от координатите на ускорението е първа производна на съответната координата на скоростта по времето:

$a_x=\frac{d{v}_x}{\mathit{dt}}={v\prime }_x(t)$, $a_y=\frac{d{v}_y}{\mathit{dt}}={v\prime }_y(t)$ и $a_z=\frac{d{v}_z}{\mathit{dt}}={v\prime }_z(t)$ .

Или ако използваме векторно означение пишем:

$\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{\mathit{dt}}=\overrightarrow{v\prime }(t)$ .

Като имаме предвид, че скоростта е първа производна на радиус-вектора по времето, то следва, че ускорението е втора производна на радиус-вектора по времето:

$\overrightarrow{a}=\frac{d^2\overrightarrow{r}}{{\mathit{dt}}^2}=\overrightarrow{r″}(t)$.

Моментното ускорение е вектор. В общия случай векторът $\overrightarrow{a}$, представящ моментното ускорение, може да се разложи на сума от два вектора: ${\overrightarrow{a}}_t$ - по направление на допирателната към траекторията, наречен тангенциално ускорение и ${\overrightarrow{a}}_n$ - по направление, перпендикулярно на допирателната, наречен нормално ускорение.

Тангенциалното ускорение е свързано с изменението на големината на скоростта, а нормалното с изменението на нейната посока.

Предишна страница: Големина на скоростта, изразяване на пътя и координатите чрез скоростта

Следваща страница: Праволинейно движение