Движение по окръжност

Страницата е създадена на:27 октомври 2016 и редактирана на:11 юни 2020

Когато траекторията на материална точка е крива линия, движението се нарича криволинейно движение. Когато траекторията е окръжност, движението се нарича движение по окръжност.

При движение по окръжност положението на материалната точка в даден момент време `t` може да се определя еднозначно и чрез ъгъла `phi`, наричан полярен ъгъл. Това е ъгълът между радиус-вектора `vec r` на материалната точка в момент `t` и оста `Ox`. Измерва се в радиани (`rad`). При представяне на положението на материалната точка чрез полярния ъгъл законът за движението се представя чрез зависимостта на полярния ъгъл от времето:

$ϕ = ϕ (t)$

Нека в последователните моменти време $t_{1}$ и $t_{2}$ , $ϕ$ да има съответно стойности $ϕ_{1}$ и $ϕ_{2}$ . Следователно, изменението му е: $Δ ϕ = ϕ_{2} - ϕ_{1}$ . Нека пътят, изминат от материалната точка за времето от $t_{1}$ до $t_{2}$ да е $Δ s$ .

Връзката между пътя `Delta s` и изменението на полярния ъгъл `Delta phi` е:

(65.1)

Δ ϕ = \frac{Δ s}{r}

или `Delta s = Delta phi r`

където $r$ е радиусът на окръжността, представляваща траектория на материалната точка.

Величината:

(65.2)

ω_{с р .} = \frac{Δ ϕ}{Δ t}

се нарича средна ъглова скорост на материалната точка, за интервала време $Δ t$

Първата производна на полярния ъгъл по времето:

(65.3)

ω = ϕ' (t)

се нарича моментна ъглова скорост.

Ъгловата скорост се измерва в единици $[ω] = \frac{rad}{s} = s^{- 1}$ .

Ако резделим двете страни на равенство (65.1) на интервала време `Delta t` получаваме врезка между средната скорост и средната ъглова скорост:

(65.4)

`v_(ср.) = omega_(ср.) r` или `v = omega r`

Зависимостта на моментната ъглова скорост от времето: $ω = ω (t)$ се нарича закон за скоростта при движението по окръжност.

Ако в момент време $t_{1}$ ъгловата скорост е $ω_{1}$ , а в момент време $t_{2}$ - $ω_{2}$ , изменението й за интервала време $Δ t$ е: $Δ ω = ω_{2} - ω_{1}$ . Величината:

$α_{с р .} = \frac{Δ ω}{Δ t}$

се нарича средно ъглово ускорение на материалната точка, а първата производна на ъгловата скорост по времето:

`α = ω'(t)`

се нарича моментно ъглово ускорение.

Равномерно движение на материална точка по окръжност

Движението на материална точка по окръжност се нарича равномерно движение по окръжност, ако ъгловата скорост на материалната точка е постоянна величина $ω (t) = ω_{0} = const$ . Очевидно ъгловото ускорение в този случай е нула.

От (65.3) се получава обикновено диференциално уравнение: $\frac{d ϕ}{dt} = ω_{0}$ , след решаване на което (аналогично на извода на закона за движението при равномерно праволинейно движение) се получава закона за движението при равномерното движение по окръжност:

(65.5)

ϕ (t) = ϕ_{0} + ω_{0} t

където $ϕ_{0}$ е началният полярен ъгъл на материалната точка в момента $t = 0$ .

При равномерно движение по окръжност времето, за което материалната точка извършва всяка нова обиколка по окръжността, е едно и също. Очевидно след завършване на една обиколка и започване на нова движението се повтаря.

Такива движения, които след определен интервал от време се повтарят многократно се наричат периодични движения. Равномерното движение по окръжност е пример за периодично движение. Най-малкото време след, което едно периодично движение започва да се повтаря се нарича период. Периодът ще означаваме с $T$ . Очевидно периода на равномерното движение по окръжност е равно на времето, за което материалната точка завършва една пълна обиколка по окръжността. За една обиколка материалната точка описва ъгъл $Δ ϕ = 2 π$ и от (65.5) получаваме:

(65.6)

ω = \frac{2 π}{T}

или

T = \frac{2 π}{ω}

Последните две равенства дават връзката между периода $T$ и ъгловата скорост $ω$ при равномерното движение на материална точка по окръжност.

Броят на повторенията на едно периодично движение за единица време се нарича честота и се означава с $ν$ . При равномерно движение по окръжност честотата е равна на броя на обиколките, които извършва материалната точка за единица време. Тъй като продължителността на една обиколка е $T$ , броят на обиколките, извършени за единица време е $\frac{1}{T}$ , следователно връзката между период и честота е:

(65.7)

ν = \frac{1}{T}

или

T = \frac{1}{ν}

Като сравним (65.6) и (65.7) получаваме следната връзка между честотата и ъгловата скорост:

$ω = 2 π ν$ или $ν = \frac{ω}{2 π}$ .

При разглеждане на произволно периодично движение е удобно да се използва величина със същото означение, както ъгловата скорост $ω$ при равномерното движение по окръжност, свързана с честотата $ν$ по същата формула: $ω = 2 π ν$ . Тази величина се нарича кръгова честота на периодичното движение.

Предишна страница: Равномерно променливо (равнопроменливо) движение

Следваща страница: Движение на твърдо тяло

Мнения за тази страница

Все още няма мнения.

Напишете своето мнение.